📂복소해석

단순극에서의 유수

정리 ¹

함수 $f$ 를 $\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$ 으로 나타낼 수 있다고 하자. 여기서 $g$ 와 $h$ 는 $\alpha$ 에서 해석적이고, $g(\alpha) \ne 0 , h(\alpha) = 0, h ' (\alpha) \ne 0$ 라고 하면 $\alpha$ 는 $f$ 의 단순 극이고 $$\text{Res}_{\alpha} f(z) = {{g(\alpha)} \over {h ' (\alpha)}}$$

딱히 $\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$ 꼴에서 $h$ 가 다항함수여야하는 건 아니기 때문에 그저 극에서의 유수를 $m=1$ 에 한정시킨 정리라곤 할 수 없다. 조건만 잘 만족한다면 오히려 더 많은 종류의 함수 $h$ 를 커버할 수 있기 때문에 활용이 무궁무진하다.

한가지 잘 알아둬야 할 것은 정리를 잘 읽어보면 $f$ 가 단순 극 $\alpha$ 를 가지는 것은 조건이 아니라 결과라는 점이다.

$\alpha$ 는 단순 극 임을 보여야하는 것이 아니라 보여지는 것이므로, $g$ 와 $h$ 에 대한 조건만 신경쓰면 된다.

증명

가정에서 $h ' (\alpha) \ne 0$ 이므로 $\displaystyle H(z) = {{ h(z) - h(\alpha) } \over { z - \alpha }}$ 라고 두면 $H(\alpha) = h ' (\alpha) \ne 0$ 가정에서 $h(\alpha) = 0$ 이므로 $$f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}} = {{g(z)} \over {h(z) - h(\alpha) }} = {{g(z)} \over {(z - \alpha) H(z) }}$$ $g / H$ 는 $\alpha$ 에서 해석적이고 $\displaystyle {{g(\alpha)} \over {H(\alpha)}} \ne 0$ 이므로 $\alpha$ 는 $f$ 의 $1$차 극점이다.

극점에서의 유수: $\alpha$ 가 단순 극이면 $\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha) f(z)$

극점에서의 유수는 $$\begin{align*} \text{Res}_{\alpha} f(z) =& \lim_{z \to \alpha} g(z) {{1} \over {H(z)}} \\ =& \lim_{z \to \alpha} g(z) \cdot \lim_{z \to \alpha} {{z - \alpha} \over {h(z) - h(\alpha) }} \\ =& g(\alpha) \cdot {{1} \over {h ' (\alpha) }} \end{align*}$$

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2차 극점

한편 공식으로써의 실용성은 떨어지지만 $2$ 에 대해 아래의 정리가 알려져있다. 증명 방법은 본질적으로 단순 극에서 했던 것과 크게 다르지 않다.

$2$차 극에서의 유수: 함수 $f$ 를 $\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$ 으로 나타낼 수 있다고 하자. 여기서 $g$ 와 $h$ 는 $\alpha$ 에서 해석적이고, $g(\alpha) \ne 0 , h(\alpha) = h ' (\alpha) = 0, h’’(\alpha) \ne 0$ 라고 하면 $\alpha$ 는 $f$ 의 $2$ 차 극점이고, $$\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = {{2g ' (\alpha)} \over {h’’(\alpha)}} - {{2g(\alpha) h’’’(\alpha) } \over {3 (h’’(\alpha))^2 }}$$