가향곡면
정의1
곡면 $M$의 점 $p$를 $p$에서의 노멀벡터로 매핑하는 함수
$$ \nu : M \to S^{2} \text{ with } \nu (p) \text{ normal to } M \text{ at } p $$
가 모든 점에서 연속이면, $M$을 가향곡면orientable surface이라한다.
설명
$\nu$를 가우스 맵이라 한다.
예시
구 $S^{2}$
$\nu (p)$를 $p$에서의 외향법선벡터outward normal vector라고 하면, $\nu (p) = p$이므로 연속이다. 따라서 구 $S^{2}$는 가향곡면이다.
토러스 $T^{2}$
가향곡면이다.
뫼비우스 띠
뫼비우스 띠는 가향곡면이 아니다.
정리
$\mathbb{R}^{3}$의 모든 컴팩트 곡면은 가향곡면이다.
Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p180 ↩︎