곡률이 0인 회전면
정리1
$M$을 단위속력곡선 $\boldsymbol{\alpha}$의 회전면이고 가우스 곡률이 $K=0$이라고 하자. 그러면 $M$은 다음의 경우 중 하나를 만족한다.
- 원통의 한 부분이다.
- 평면의 한 부분이다.
- 원뿔의 한 부분이다.
더욱이 이 곡면들은 국소적으로 등거리 이다.
증명
회전면의 가우스 곡률이 $K = 0$이라고 하자. 회전면의 곡률은 $K = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r}$이므로, $r^{\prime \prime} = 0$이다. 따라서
$$ r^{\prime \prime}(s) = 0 \implies r^{\prime}(s) = a \implies r(s) = as + b $$
$z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}$이므로,
$$ z^{\prime} = \pm \sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}} = \pm \sqrt{1 - a^{2}} $$
$$ \implies z = \pm \sqrt{1-a^{2}}s + d = cs + d $$
따라서 곡선 $\boldsymbol{\alpha} = (r, z)$는 다음과 같다.
$$ \boldsymbol{\alpha}(s) =\big(r(s), z(s)) = (as + b, cs + d),\quad a,b,c,d \in \mathbb{R} $$
만약 $a=0$이면, $\alpha (s) = (b, cs + d)$이고 이로 만들어지는 회전면은 원통의 일부이다.
만약 $c=0$이면, $\alpha (s) = (as + b, d)$ 평면이고 이로 만들어지는 회전면은 평면의 일부이다.
만약 $a\ne 0, c\ne 0$이면, $\alpha (s) = (as + b, cs + d)$이고 이 선은 $r$축과 $z$축 어디에도 평행하지 않다. 이 곡선으로 만들어지는 회전면은 원뿔의 일부이다.
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Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p155-156 ↩︎