📂기하학

가우스 곡률과 평균 곡률

정의¹

곡면 $M$ 위의 점 $p$에서의 주곡률을 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$라고 하자. $L$을 바인가르텡 맵이라 하자. 가우스 곡률^{Gaussian curvature} $K$를 다음과 같이 정의한다.

$$ K := \kappa_{1} \kappa_{2} = \det L = \det ([{L^{i}}_{j}]) $$

이때 ${L^{i}}_{j} = \sum \limits_{k} L_{kj}g^{ki}$이다.

평균 곡률^{mean curvature} $H$를 다음과 같이 정의한다.

$$ H := \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} = \dfrac{\tr{L}}{2} $$

$\tr{L}$은 선형변환 $L$의 트레이스이다.

설명

정리 3.에 의해 평균 곡률은 실제로 법곡률의 평균임을 알 수 있다.

곡면 $M$ 위의 모든 점 $p$에서 $H=0$이면, $M$을 극소 곡면^{minimal surface}라고 한다. 극소 곡면이란 작은 영역을 조금 바꾸었을 때, 곡면의 표면적이 항상 증가하는 곡면을 말한다. 쉬운 예로 평면이 있다. 평면의 어느 부분을 조금 바꾸면(빳빳하게 펴진 천의 어느 부분을 손가락으로 누르는 상상을 해보자) 그 넓이는 반드시 커지게 되어있다.

공식

• 주곡률의 곱

$$ K = \kappa_{1} \kappa_{2} $$

• 가우스 곡률은 리만 곡률 텐서로 표현할 수 있다.

$$

$$

• 가우스 곡률은 크리스토펠 심볼로 표현할 수 있다.

$$ K = $$

• 점 $p$에서의 가우스 곡률은 가우스 맵과 영역의 넓이로 표현된다.

$$ K = \lim\limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})} $$

정리

1. $H^{2} \ge K$가 성립한다.

2. $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$가 $p$에서의 정규직교 벡터들이라고하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ H = \dfrac{1}{2}\left( II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) + II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) \right) $$

3. $\mathbf{Y} \in T_{p}M$을 단위 탄젠트 벡터, $\kappa_{n}$을 법곡률이라 하자. $\theta$를 주방향 $\mathbf{X}_{1}$과 $\mathbf{Y}$사이의 각도라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ H = \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\kappa_{n}d\theta $$

증명

3.

$\kappa_{n} = II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y})$이고, $II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \kappa_{1}\cos^{2}\theta + \kappa_{2}\sin^{2}\theta$이므로,

$$ \begin{align*} \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\kappa_{n}d\theta &= \dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \kappa_{1}\cos^{2}\theta + \kappa_{2}\sin^{2}\theta d\theta \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \left( \kappa_{1} \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} d\theta + \kappa_{2} \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta d\theta \right) \\ &= \dfrac{1}{2\pi} \left( \kappa_{1} \pi + \kappa_{2} \pi \right) \\ &= \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} \\ &= H \end{align*} $$

(삼각함수 적분표 $(2), (3)$ 참고)

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