고유값이 서로 다른 두 고유벡터는 직교한다
정리
임의의 에르미트 연산자 $A$의 서로 다른 고유값에 대한 두 고유함수는 서로 직교이다.
$$ \begin{cases} A\psi_{n}=a_{n}\psi_{n} \\ A\psi_{m}=a_{m}\psi_{m} \end{cases} $$
이고 $a_{n} \ne a_{m}$일 때,
$$ \braket{\psi_{n} | \psi_{m}} = 0 $$
증명
에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수이므로, 다음이 성립한다.
$$ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m} } ={a_{n}}^{\ast}\braket{\psi_{n}|\psi_{m} } =a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} $$
또한 에르미트 연산자의 정의에 의해,
$$ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A^{\dagger}\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A\psi_{m}} = a_{m} \braket{\psi_{n} | \psi_{m}} $$
따라서 위의 두 식을 빼면 다음과 같다.
$$ 0 = \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}- \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}} = a_{m}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} - a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} $$ $$ \implies (a_{m}-a_{n})\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0 $$
이 때 $a_{m} \ne a_{n}$이므로 $\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0$
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