📂기하학

최단거리 곡선이면 측지선이다

정리¹

$\boldsymbol{\gamma}$를 곡면 $M$위의 두 점 $P = \boldsymbol{\gamma}(a), Q = \boldsymbol{\gamma}(b)$을 잇는 단위 속력 곡선라고 하자. 만약 $\boldsymbol{\gamma}$가 $P$와 $Q$를 잇는 최단거리 곡선이면, $\boldsymbol{\gamma}$는 측지선이다.

설명

역은 성립하지 않는다. 다시말해 측지선이라고 최단거리 곡선인 것은 아니다.

증명

전략: 귀류법으로 증명한다. 보여야할 것은 $\kappa_{g} = 0$이므로, $\kappa_{g} \ne 0$이라고 가정한 뒤, 이때 모순이 생김을 보이면 증명 완료이다.

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$a \lt s_{0} \lt b$이고 $\kappa_{g}$를 $\boldsymbol{\gamma}$의 측지곡률이라고 하자. 이제 $\kappa_{g}(s_{0}) \ne 0$라고 가정하자. 그러면 $\boldsymbol{\gamma}$는 연속이므로 다음이 성립하는 $c, d$가 존재한다.

• $\kappa_{g}([c,d]) \ne 0$
• $a \lt c \lt s_{0} \lt d \lt b$
• 좌표조각사상 $\mathbf{x}$에 대해, $\boldsymbol{\gamma}([c,d]) \subset \mathbf{x}(U)$

이제 $C^{2}$ 함수 $\lambda : [c,d] \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의하자.

$$ \lambda (c) = \lambda (d) = 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s_{0}) \ne 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s)\kappa_{g}(s) \ge 0 \quad \text{ for } c\le s \le d $$

$\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \boldsymbol{\gamma}^{\prime}$는 탄젠트 공간에 있으므로, 어떤 $v^{i} : [c,d] \to \mathbb{R}$에 대해서 $\lambda (s) \mathbf{S} = \sum v^{i}(s)\mathbf{x}_{i}$라고 하자.

이제 $\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}(\gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s))$와 같이 주어진다고 하자. 그리고 $\left| t \right|$가 충분히 작은 $t$에 대해서 아래와 같은 $\boldsymbol{\gamma}$의 퍼터베이션 $\boldsymbol{\alpha}(s ;t)$을 생각하자.

$$ \boldsymbol{\alpha}(s ;t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s) + t v^{1}(s), \gamma^{2}(s) + t v^{2}(s) \right) $$

$\boldsymbol{\alpha}$는 $\boldsymbol{\gamma}(c)$에서 $\boldsymbol{\gamma}(d)$로 가는 곡선이며, $\boldsymbol{\alpha}(s ; 0) = \boldsymbol{\gamma}(s)$이다. $\boldsymbol{\alpha}(s; t)$의 길이를 $L(t)$라고 하자.

$$ L(t) = \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds $$

그러면 $\boldsymbol{\alpha}(s, 0) = \boldsymbol{\gamma}$이고, $\boldsymbol{\gamma}$는 최단거리 곡선이므로, $L(t)$는 $t = 0$일 때 최솟값을 가진다. 또한 $L(0) \lt L(t^{\ast} \ne 0)$이므로, $L^{\prime}(0) = 0$이다. 한편 $L^{\prime}$을 구해보면,

$$ \begin{align*} L^{\prime}(t) =&\ \dfrac{d }{d t} \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds = \int_{c}^{d} \dfrac{\partial }{\partial t}\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds \\[1em] =&\ \int_{c}^{d} \dfrac{1}{2} \dfrac{2\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds = \int_{c}^{d}\dfrac{\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds \end{align*} $$

이때 $\boldsymbol{\gamma}$가 단위속력 곡선이므로, $t=0$일 때

$$ \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s} \right\rangle = 1 $$

따라서

$$ L^{\prime}(0) = \int_{c}^{d} \left. \left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} ds $$

여기서 $\dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s \partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle + \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle$이므로 이를 위 식에 대입하면,

$$ \begin{align*} L^{\prime}(0) =&\ \int_{c}^{d} \left. \dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} - \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \\[1em] =&\ \left[ \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} \right]_{c}^{d} - \int_{c}^{d}\left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \end{align*} $$

이때 $\left. \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t} \right|_{t=0} = \sum v^{i}(s) \mathbf{x}_{i} = \lambda (s) \mathbf{S}$인데, $\lambda (c) = \lambda (d)=0$ 이므로 첫째항은 $0$이다. 따라서, $\left. \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}}\right|_{t=0} = \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} = \kappa_{g}\mathbf{S} + \kappa_{n}\mathbf{n}$이고 $L^{\prime}(0) = 0$이었으므로,

$$ \begin{align*} 0 = L^{\prime}(0) =&\ 0 - \int_{c}^{d} \left\langle \lambda (s) \mathbf{S}, \kappa_{g}(s) \mathbf{S} + \kappa_{n}(s) \mathbf{n} \right\rangle ds \\ =&\ -\int _{c}^{d} \lambda (s) \kappa_{g}(s) ds \end{align*} $$

그런데 이때 $\lambda (s) \kappa_{g}(s) \gt 0$이라고 가정했으므로 모순이다.

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