📂기하학

곡면 위의 곡선을 따라서 평행한 벡터필드

곡선을 따라가는 벡터필드¹

정의

곡면 $M$과 곡선 $\alpha : \left[ a, b \right] \to M$가 주어졌다고 하자. 각각의 $t \in \left[ a,b \right]$를 점 $\alpha (t)$ 위에서 곡면 $M$에 대한 탄젠트 벡터로 대응시키는 함수 $\mathbf{X}$를 곡선 $\alpha$를 따라가는 벡터필드^{vector field along a curve $\alpha$}라 한다.

$$ \mathbf{X} : \left[ a, b \right] \to \mathbb{R}^{3} \\ \mathbf{X}(t) \in T_{\alpha (t)}M $$

설명

정의에서 말하는 탄젠트 벡터란, 곡선 $\alpha$의 탄젠트 벡터가 아니라 $T_{\alpha (t)}M$의 원소인 점 $\alpha (t)$에서의 탄젠트 벡터라는 것에 주의하자. 곡면 위의 각 점 $\alpha (t)$에서 탄젠트 벡터는 유일하지 않으므로, 곡선 $\alpha$를 따라가는 벡터필드는 유일하지 않다. 접 평면에 무한한 벡터가 있으므로 $\mathbf{X}$도 무한히 있는 것이다.

쉬운 예로 $M$위의 곡선 $\alpha (t)$가 주어졌을 때, $\alpha (t)$의 탄젠트 벡터필드인 $\mathbf{T}(t)$는 $\alpha$를 따라가는 벡터필드가 된다. $\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$ 역시 $\alpha$ 벡터필드이다.

$\mathbf{S}$와 $\mathbf{T}$는 탄젠트 공간의 기저가 되므로 모든 $\alpha$ 벡터필드 $\mathbf{X}$는 다음과 같은 선형 결합으로 표현될 수 있다.

$$ \mathbf{X}(t) = A(t)\mathbf{T}(t) + B(t)\mathbf{S}(t)\quad \text{for some } A,B:[a,b]\to \mathbb{R} $$

미분가능한 벡터필드

정의

$\alpha (t)$를 따라가는 벡터필드 $\mathbf{X}(t)$가 미분가능하다^{differentiable}는 것은, 함수 $\mathbf{X} : \left[ a, b \right] \to \mathbb{R}^{3}$가 미분가능한 것을 의미한다.

설명

엄밀하게는 '$\mathbf{X}$가 미분가능하다'고 말해야 맞지만, '$\mathbf{X}(t)$가 미분가능하다'라고도 편하게 쓰겠다는 말이다.

평행한 벡터필드

정의

미분가능한 $\alpha$ 벡터필드 $\mathbf{X}(t)$가 주어졌다고 하자. $\dfrac{d \mathbf{X}}{dt}$가 곡면 $M$과 수직하면, $\mathbf{X}(t)$가 $\alpha (t)$를 따라서 평행하다^{parallel along $\alpha (t)$}고 정의한다.

설명

위에서 설명했듯이 $\alpha$ 벡터필드는 정말 아무렇게나 잡아올 수 있는데, ‘미분가능한 $\alpha$ 벡터필드’ 라는 조건은 ‘평행한 선’ 이라는 개념을 말하기 위해서 제한을 두는 것이다.

곡면 $M$과 수직해야된다는 말은 $\dfrac{d \mathbf{X}}{dt}$가 탄젠트 방향으로의 성분은 없고, 노멀 방향의 성분만 가져야한다는 말과 같다. 정의만 보았을 때는 왜 이러한 벡터필드를 평행하다고 하는지 잘 와닿지 않을테니 다음의 예시를 보자.

예시

2차원 평면에서

$xy-$평면 위의 곡선 $\boldsymbol{\gamma}(t) = \left( a(t), b(t), 0 \right)$를 생각하자. 그리고 $\mathbf{X}(t) = \left( A(t), B(t), 0 \right)$을 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라가는 벡터필드라고 하자. 그러면,

$$ \dfrac{d \mathbf{X}}{dt} = \left( \dfrac{d A}{dt}, \dfrac{d B}{dt}, 0 \right) $$

이 벡터가 $xy-$평면과 수직하려면, 임의의 모든 벡터 $(x,y,0)$과의 내적이 $0$이어야 하므로 다음을 얻는다.

$$ \dfrac{d A}{dt} = 0 = \dfrac{d B}{dt} $$

따라서 $A(t), B(t)$는 상수이다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같고, 우리가 직관적으로 생각하는 '곡선 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라가며 평핸한 벡터들'에 잘 맞는다.

구면 위에서

$M$을 단위 구면이라고 하자. ${\color{6699CC}\boldsymbol{\gamma}(t)}$를 적도선이라고 하자. 그리고 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라가는 벡터필드 ${\color{295F2E}\mathbf{X}_{\boldsymbol{\gamma}}(t) = (0, 0, 1)}$을 생각해보자. 그러면 $\dfrac{d \mathbf{X}_{\boldsymbol{\gamma}}}{dt} = (0,0,0)$이므로 항상 $M$과 수직이다. 따라서 $\mathbf{X}_{\boldsymbol{\gamma}}$는 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라 평행한 벡터필드이다. 2차원 예시에서 봤듯이, 상수인 벡터필드는 당연하게도 항상 평행한 벡터필드가 된다.

이제 곡선 ${\color{6699CC}\boldsymbol{\beta}(t) = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos t, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin t, \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}$와 $\boldsymbol{\beta}$를 따라가는 벡터필드 ${\color{295F2E}\mathbf{X}_{\boldsymbol{\beta}} = \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos t, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin t, \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}$를 생각해보자. 그러면 ${\color{f8c512}\dfrac{d\mathbf{X}_{\boldsymbol{\beta}}}{dt} = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin t, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos t, 0 \right)}$이고 이 둘을 3D로 그려보면 다음과 같다.

${\color{f8c512}\dfrac{d\mathbf{X}_{\boldsymbol{\beta}}}{dt}}$가 구면과 수직이 아니므로, ${\color{295F2E}\mathbf{X}_{\boldsymbol{\beta}}}$는 $\boldsymbol{\beta}$를 따라 평행한 벡터필드가 아니다.