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측지곡률은 내재적이다 📂기하학

측지곡률은 내재적이다

정리1

곡면위의 곡선의 측지곡률 κg\kappa_{g}는 내재적이다.

설명

다시말해 κg\kappa_{g}는 단위 노멀 n\mathbf{n}없이 리만 메트릭의 계수만으로 계산할 수 있다는 의미이다. 물론 다음과 같이 외재적 공식extrinsic formula으로도 표현할 수 있다. κN=T′=α′′=κnn+κgS\kappa \mathbf{N} = \mathbf{T}^{\prime} = \alpha^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n}+ \kappa_{g}\mathbf{S}이므로,

κg= ⟨T′,S⟩= ⟨T′,n×T⟩= [T′,n,T]= [n,T,T′]= ⟨n,T×T′⟩= ⟨n,T×κN⟩= κ⟨n,T×N⟩= κ⟨n,B⟩= κcos⁡θ \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{S} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \left[ \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left[ \mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{T}^{\prime} \right] \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{T}^{\prime} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \kappa \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{T} \times \mathbf{N} \right\rangle \\ =&\ \kappa \left\langle \mathbf{n}, \mathbf{B} \right\rangle \\ =&\ \kappa \cos \theta \end{align*}

여기서 [⋅,⋅,⋅]\left[ \cdot, \cdot, \cdot \right]은 스칼라 삼중곱을 의미한다. B\mathbf{B}는 바이노멀이다. θ\theta는 n\mathbf{n}과 B\mathbf{B} 사이의 각도이다.

증명

  • gijg_{ij} : 리만 메트릭의 계수
  • Lij=⟨xij,n⟩L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle : 제2 기본 형식의 계수
  • Γijk=∑l=12⟨xij,xl⟩glk=⟨xij,xl⟩glk\Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} : 크리스토펠 심볼

x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}를 좌표조각사상, (u1,u2)(u_{1}, u_{2})를 UU의 좌표라 하자. 그 위의 곡선 α(s)=x(u1(s),u2(s))\alpha (s) = \mathbf{x}\left( u_{1}(s), u_{2}(s) \right)가 주어졌다고 하자. 그러면 α′′\alpha^{\prime \prime}은 다음과 같이 표현된다.

α′′(s)=κn(s)n(s)+κg(s)S(s) \alpha^{\prime \prime}(s) = \kappa_{n}(s)\mathbf{n}(s) + \kappa_{g}(s)\mathbf{S}(s)

n\mathbf{n}은 단위 노멀, S=n×T\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}이다. 또한 xi\mathbf{x}_{i}, xij\mathbf{x}_{ij}는 각각 x\mathbf{x}의 1계, 2계 편 도함수이다.

xi:=∂x∂uiandxij:=∂2x∂uj∂ui \mathbf{x}_{i} := \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u_{i}} \quad \text{and} \quad \mathbf{x}_{ij} := \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{j} \partial u_{i}}

  • Part 1.

    우선 단위 노멀과 접평면의 기저들의 스칼라 삼중곱을 다음과 같이 나타내자.

    ϵij=⟨n,xi×xj⟩=[n,xi,xj] \epsilon _{ij} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{j} \rangle = \left[ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right]

    그러면, xi×xi=0\mathbf{x}_{i} \times \mathbf{x}_{i} = \mathbf{0}이므로, 각각의 값은 다음과 같다.

    ϵ11=ϵ22=0 \epsilon_{11} = \epsilon_{22} = 0

    n\mathbf{n}은 정의에 의해 x1×x2\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}와 수직하므로,

    ⟨n,x1×x2⟩=∣n∣∣x1×x2∣ \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = \left| \mathbf{n} \right| \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|

    여기서 n\mathbf{n}은 단위벡터이고, g=∣x1×x2∣2g = \left| \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \right|^{2}이므로

    ϵ12=⟨n,x1×x2⟩=−⟨n,x2×x1⟩=−ϵ21=g \epsilon_{12} = \langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2} \rangle = -\langle \mathbf{n}, \mathbf{x}_{2} \times \mathbf{x}_{1} \rangle = -\epsilon_{21} = \sqrt{g}

  • Part 2.

    S=n×T\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}이고, S\mathbf{S}가 단위벡터이므로

    κg=⟨kgS,S⟩=⟨kgS,n×T⟩=[κgS,n,T] \kappa _{g} = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{S} \right\rangle = \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right]

    공식

    κgS=∑i=12[uk′′+∑i,j=12Γijkui′uj′]xk \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{i=1}^{2} \left[ u_{k}^{\prime \prime} + \sum \limits_{i,j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}u_{i}^{\prime}u_{j}^{\prime} \right] \mathbf {x}_{k}

    탄젠트 벡터는 T=xlul′\mathbf{T} = \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}이고, 위의 공식에 따라 κg\kappa_{g}는 다음과 같이 계산된다.

    κg= ⟨kgS,n×T⟩=[κgS,n,T]= ⟨∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)xk,n×T⟩= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)⟨xk,n×T⟩= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)[xk,n,T]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)[n,T,xk]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)[n,xlul′,xk]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)ul′[n,xl,xk]= ∑k=12(uk′′+∑i=12∑j=12Γijkui′uj′)ul′ϵlk \begin{align*} \kappa_{g} =&\ \left\langle k_{g} \mathbf{S}, \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle = \left[ \kappa_{g}\mathbf{S}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left\langle \mathbf{x}_{k} , \mathbf{n} \times \mathbf{T} \right\rangle \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{x}_{k}, \mathbf{n}, \mathbf{T} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{T}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}u_{l}^{\prime}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \left[\mathbf{n}, \mathbf{x}_{l}, \mathbf{x}_{k} \right] \\ =&\ \sum \limits_{k=1}^{2} \left( u^{\prime \prime}_{k} + \sum\limits_{i=1}^{2} \sum\limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime} \right) u_{l}^{\prime} \epsilon_{lk} \end{align*}

    여기서 Γijk\Gamma_{ij}^{k}는 내재적이고, Part 1.에 의해 ϵlk\epsilon_{lk}도 내재적이므로, κg\kappa_{g}는 내재적이다.

  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p106-107 ↩︎