📂기하학

미분기하학에서 가우스 공식

정리¹

$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$를 좌표조각사상이라 하자. $(u_{1}, u_{2})$를 $U$의 좌표라고 하자.

$\mathbf{n}$을 단위 노멀, $L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle$을 제2 기본 형식의 계수, $\Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk}$을 크리스토펠 심볼이라고 하자.

그러면 다음이 성립한다.

(a) 가우스 공식^{Gauss’s formulas}:

$$ \mathbf{x}_{ij} = L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} $$

(b) 임의의 단위 속력 곡선 $\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s) \right)$에 대해서,

$$ \kappa_{n} = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} $$

그리고

$$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{k=1}^{2} \left[ u_{k}^{\prime \prime} + \sum \limits_{i,j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} \right] \mathbf{x}_{k} $$

이때 $\kappa_{n}$은 법곡률, $\kappa_{g}$는 측지곡률, $\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \mathbf{T}$이다.

설명

사실 (a)는 그 자체가 $L_{ij}$와 $\Gamma_{ij}^{k}$의 정의이다.

(a)의 결과로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle = \sum \limits_{k=1}^{2}\Gamma_{ij}^{k}g_{kl} $$

이를 제1 크리스토펠 심볼이라고 한다.

증명

(a)

단위 노멀은 탄젠트 공간에 수직하고, $\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$는 탄젠트 공간의 기저이므로 $\left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}$은 $\R^{3}$의 기저가 된다. 그러면 $\R^{3}$의 모든 벡터는 이들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 이제 $\mathbf{x}_{ij}$를 다음과 같이 나타내자.

$$ \mathbf{x}_{ij} = a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2} $$

따라서, $\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{n} \right\rangle=0$ 이므로, 제2기본형식계수의 정의에 의해

$$ L_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle = \left\langle a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right\rangle = a_{ij} $$

또한 리만 메트릭의 계수는 $g_{ij} := \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle$와 같이 정의되므로,

$$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle =&\ \left\langle a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= {b_{ij}}^{1} \left\langle \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle + {b_{ij}}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= {b_{ij}}^{1} g_{1l} + {b_{ij}}^{2} g_{2l} \\ &= \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml} \\ &= {b_{ij}}^{m} g_{ml} \quad (\text{Einstein notation}) \end{align*} $$

따라서, $[g^{lk}]$는 $[g_{ij}]$의 역행렬이므로, 다음의 식이 성립한다.

$$ \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml}g^{lk} $$

좌변을 모든 $l$에 대해서 더하면 크리스토펠 심볼이다. 리만 메트릭에 대해서 $g_{ik}g^{kj} = {\delta_{i}}^{j}$이 성립하므로,

$$ \Gamma_{ij}^{k} = \sum \limits_{l=1}^{2} \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} = \sum \limits_{l=1}^{2} \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} g_{ml}g^{lk} = \sum \limits_{m=1}^{2} {b_{ij}}^{m} {\delta_{m}}^{k} = {b_{ij}}^{k} $$

그러므로

$$ \begin{align*} \mathbf{x}_{ij} =&\ a_{ij}\mathbf{n} + {b_{ij}}^{1}\mathbf{x}_{1} + {b_{ij}}^{2}\mathbf{x}_{2} \\ =&\ L_{ij} \mathbf{n} + {\Gamma_{ij}}^{1} \mathbf{x}_{1} + {\Gamma_{ij}}^{2} \mathbf{x}_{2} \\ =&\ L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} \end{align*} $$

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(b)

• Part 1. $\boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime}$계산

  $\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s) \right)$의 탄젠트 벡터를 계산하면 다음과 같다.

  $$ \begin{align*} T(s) =&\ \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d s} \\ =&\ \dfrac{d}{ds} \mathbf{x}(\gamma^{1}, \gamma^{2}) \\ =&\ \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \gamma^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{ds} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \gamma^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{ds}& \text{by } \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/derivative-of-three-dimentional-scalar-vector-function}{\text{chain rule}} \\ =&\ \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{2}(\gamma^{2})^{\prime} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2}\mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime} \\ =&\ \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime} \end{align*} $$

  마지막 등호에서 아인슈타인 표기법을 사용했다. 가속도를 계산해보자. 아인슈타인 노테이션과 미분 암산에 익숙한 사람이라면 다음과 같이 한방 컷으로 계산할 수 있다.

  $$ \boldsymbol{\gamma} ^{\prime \prime} = \dfrac{d}{ds}\left( \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime} \right) = \mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime \prime} = \sum \limits_{i=1}^{2}\left( \sum\limits_{j=1}^{2}\mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i}(\gamma^{i})^{\prime \prime} \right) $$

  아인슈타인 노테이션에 익숙하지 않은 사람을 위해 계산 과정을 최대한 자세히 적으면 다음과 같다.

  $$ \begin{align*} \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} =&\ \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{2}(\gamma^{2})^{\prime} \right) \\ =&\ \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{1}(\gamma^{1})^{\prime} \right) +\dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{2}(\gamma^{2})^{\prime} \right) \\ =&\ \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{1} \right) (\gamma^{1})^{\prime} +\mathbf{x}_{1} \dfrac{d}{ds} \left( (\gamma^{1})^{\prime} \right) + \dfrac{d}{ds} \left( \mathbf{x}_{2} \right) (\gamma^{2})^{\prime} +\mathbf{x}_{2} \dfrac{d}{ds} \left( (\gamma^{2})^{\prime} \right) \\ =&\ \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}_{1}}{\partial \gamma^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{ds} + \dfrac{\partial \mathbf{x}_{1}}{\partial \gamma^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{ds} \right) (\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}_{2}}{\partial \gamma^{1}}\dfrac{d \gamma^{1}}{ds} + \dfrac{\partial \mathbf{x}_{2}}{\partial \gamma^{2}}\dfrac{d \gamma^{2}}{ds} \right) (\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \left( \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{2})^{\prime} \right)(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \left( \mathbf{x}_{21}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{22}(\gamma^{2})^{\prime} \right)(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \mathbf{x}_{21}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{22}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \left( \mathbf{x}_{11}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{12}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{21}(\gamma^{1})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} + \mathbf{x}_{22}(\gamma^{2})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} \right) + \mathbf{x}_{1} (\gamma^{1})^{\prime \prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \sum \limits_{j=1}^{2}\left( \mathbf{x}_{1j}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{1})^{\prime} + \mathbf{x}_{2j}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{2})^{\prime} \right) + \mathbf{x}_{1} u_{1}^{\prime \prime} + \mathbf{x}_{2} (\gamma^{2})^{\prime \prime} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} \left(\sum \limits_{j=1}^{2} \mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i} (\gamma^{i})^{\prime \prime} \right) \\ =&\ \mathbf{x}_{ij}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \mathbf{x}_{i} (\gamma^{i})^{\prime \prime} \end{align*} $$

• Part 2.

  $\boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime}$에 가우스 공식 (a)를 대입하면,

  $$ \begin{align*} \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} (s) &= \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \mathbf{x}_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} + \sum \limits_{k=1}^{2} \mathbf{x}_{k} (\gamma^{k})^{\prime \prime} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \left( L_{ij} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} \mathbf{x}_{k} \right) (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} + \sum \limits_{k=1}^{2} \mathbf{x}_{k} (\gamma^{k})^{\prime \prime} \\ &= \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \mathbf{n} + \sum \limits_{k=1}^{2}\left( (\gamma^{k})^{\prime \prime} + \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} \end{align*} $$

  그런데 $\boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} = \kappa_{n}\mathbf{n} + \kappa_{g}\mathbf{S}$와 같이 표현되므로

  $$ \kappa_{n} = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} $$

  $$ \kappa_{g}\mathbf{S} = \sum \limits_{k=1}^{2}\left( (\gamma^{k})^{\prime \prime} + \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} \Gamma_{ij}^{k} (\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \right)\mathbf{x}_{k} $$

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