📂편미분방정식

편미분방정식에서 경계값 문제(BVP)

정의

열린집합 $\Omega$에서 정의된 편미분방정식이 주어졌다고 하자. $\Omega$의 경계인 $\partial \Omega$에서 미지수 $u$의 값이 주어졌다고 하자. 이를 경계조건^{boundary condition}이라 한다. 편미분방정식과 경계조건을 묶어 경계값 문제^{boundary value problem}라고 한다.

설명

약자인 BVP가 흔히 쓰이는 편이다.

경계값 문제를 푼다는 것은 주어진 편미분방정식에서 경계조건을 만족하는 솔루션 $u$를 찾는 것을 의미한다.

예시

• 디리클레 경계조건

  $$u = 0 \quad \text{on } \partial \Omega$$

• 노이만 경계조건

  $$\dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega$$

  이때 $\nu$는 외향 단위 법선 벡터이다.

• 섞인 디리클레-노이만 경계조건^{mixed boundary conditions1}

  $\partial \Omega$가 두 개의 서로 다른 닫힌 집합 $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$를 포함한다고 할 때,

  $$\begin{align*} u = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{1} \\ \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0& \quad \text{on } \partial \Gamma_{2} \end{align*}$$

• 로빈 경계조건¹

  $$u + \dfrac{\partial u}{\partial \nu} = 0 \quad \text{on } \partial \Omega$$

  같이보기

  • 초기값 문제(IVP)