📂기하학

미분기하학에서 곡면의 정의

정의¹

$M \subset \R^{3}$의 모든 점 $P \in M$에 대해서, 이미지 $\mathbf{x}(U)$가 $P$의 어떤 $\epsilon-$근방 $N_{p}$를 포함하도록 하는 $C^{k}$ 고유조각사상 $\mathbf{x} : U \subset \R^{2} \to M$이 존재하면, $M$을 $\R^{3}$의 $C^{k}$ 곡면^surface이라 한다.

또한, 그러한 두 고유조각사상 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$와 $\mathbf{y} : V \to \R^{3}$에 대해서,

$$\mathbf{y}^{-1} \circ \mathbf{x} : \mathbf{x}^{-1}\left( \mathbf{x}(U) \cap \mathbf{y}(V) \right) \to \mathbf{y}^{-1}\left( \mathbf{x}(U) \cap \mathbf{y}(V) \right)$$

는 $C^{k}$ 좌표 변환이다.

설명

$\R^{3}$의 곡면은 쉽게 말해서 단순곡면의 이미지들을 잘 합쳐놓은 것이다.

많은 정의들이 그러하듯 곡면 역시나 정의대로 판별하는 것은 쉽지 않다. 곡면의 판별에 관해서 다음과 같은 정리가 있다.

정리²

미분가능한 함수 $g : \R^{3} \to \R$와 상수 $c \in \R$가 주어졌다고 하자. 집합 $M = \left\{ (x,y,z) : g(x,y,z) = c \right\}$에 대해서, $M$의 어떤 점에서

$$dg = \dfrac{\partial g}{\partial x}dx + \dfrac{\partial g}{\partial y}dy + \dfrac{\partial g}{\partial z}dz \ne 0$$

가 성립하면, $M$은 곡면이다.