교대 함수

정의

집합 $X$가 주어졌다고 하자. 다음을 만족하는 함수를 교대 함수^{alternating function}라 한다.

$$ \phi : \overbrace{X \times X \times \cdots \times X}^{n} \to \mathbb{R} \\ \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, x_{i+1}, \dots, x_{n}) = - \phi (x_{1}, \dots, x_{i+1}, x_{i}, \dots, x_{n}) $$

설명

이웃한 두 변수끼리 자리를 바꿀 때 함숫값의 부호가 바뀌는 함수이다. 물론 정의에 의해 이웃하지 않은 두 변수에대해서도 성립함을 보일 수 있다.

변수에 중복되는 원소가 하나라도 있으면 함숫값은 $0$이다.

성질

$$ \begin{equation} \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{i+k}, \dots, x_{n}) = - \phi (x_{1}, \dots, x_{i+k}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}) \end{equation} $$

$\phi$가 교대함수일 필요충분 조건은 다음과 같다.

$$ \begin{equation} \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, x_{i}, \dots, x_{n}) = 0 \end{equation} $$

증명

증명 (1)

$$ \begin{align*} & \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{i+k-1}, x_{i+k}, \dots, x_{n}) \\ =&\ - \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{i+k}, x_{i+k-1}, \dots, x_{n}) \\ =&\ (-1)^{2} \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, \dots, x_{i+k}, x_{i+k-2}, x_{i+k-1}, \dots, x_{n}) \\ \vdots& \\ =&\ (-1)^{k} \phi (x_{1}, \dots, x_{i+k}, x_{i}, \dots, x_{i+k-2}, x_{i+k-1}, \dots, x_{n}) \\ =&\ (-1)^{k+1} \phi (x_{1}, \dots, x_{i+k}, x_{i+1} ,x_{i}, \dots, x_{i+k-2}, x_{i+k-1}, \dots, x_{n}) \\ \vdots& \\ =&\ (-1)^{k+(k-1)} \phi (x_{1}, \dots, x_{i+k}, \dots, x_{i+k-1}, x_{i}, \dots, x_{n}) \\ =&\ - \phi (x_{1}, \dots, x_{i+k}, \dots, x_{i+k-1}, x_{i}, \dots, x_{n}) \end{align*} $$

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증명 (2)

$$ \begin{align*} && \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, x_{i}, \dots, x_{n}) =&\ - \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, x_{i}, \dots, x_{n}) \\ \iff && 2\phi (x_{1}, \dots, x_{i}, x_{i}, \dots, x_{n}) =&\ 0 \\ \iff && \phi (x_{1}, \dots, x_{i}, x_{i}, \dots, x_{n}) =&\ 0 \end{align*} $$

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