📂기하학

3차원 단위 구의 좌표조각사상

공식

3차원 공간의 단위 구는 아래와 같은 6개의 좌표조각사상으로 표현된다. $(u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}$에 대해서,

$$ \begin{align*} \mathbf{x} _{(0,0,1)}(u, v) &= \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right) \\ \mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) &= \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right) \\ \mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) &= \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right) \\ \mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) &= \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right) \\ \mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) &= \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) \\ \mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) &= \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) \end{align*} $$

설명 ¹

좌표조각사상은 우리가 생각하는 곡면이라는 개념을 수학적으로 표현한 것이다. 그러면 실제로 곡면이 어떻게 좌표 조각 사상으로 표현되는지 구체적인 예로 확인해보자. 3차원 공간상의 단위 구면을 생각해보자. 그러면 다음과 같이 정의되는 좌표조각사상 $\mathbf{x} _{(0,0,1)} : \R^{2} \to \R^{3}$를 생각해보자.

$$ \mathbf{x} _{(0,0,1)}(u, v) = \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right) ,\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\} $$

이 좌표조각은 구면의 $z \gt 0$인 부분을 표현하게 된다. 또한 다음과 같은 좌표조각

$$ \mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) = \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\} $$

는 $z \lt 0$인 구면을 표현한다. 따라서 다음 그림에 빨간색 선으로 표현된 $xy-$평면과 만나는 부분, 즉 적도를 제외하고는 3차원 단위 구면을 두 좌표조각 $\mathbf{x}_{(0,0,1)}, \mathbf{x}_{(0,0,-1)}$으로 표현할 수 있다.

이제 좌표조각사상을 더 가져와서 적도까지 커버해보자.

$$ \mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) = \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\} \\ \mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) = \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\} $$

위의 두 좌표조각으로 구의 옆면을 아래의 왼쪽 그림과 같이 표현할 수 있다.

얼핏 생각하면 이러한 네 좌표조각으로 구면을 완전히 표현할 수 있을 것 같지만 그렇지 않다. 위의 오른쪽 그림에서 표시한 두 점 $(1,0,0)$과 $(-1, 0, 0)$은 위의 네 좌표조각 중 어느 것으로도 표현되지 않는다. 따라서 다음과 같은 두 좌표조각이 더 필요하다.

$$ \mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\} \\ \mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) = \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right),\quad (u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\} $$

이제 위에서 정의한 6개의 좌표조각으로 3차원 단위 구를 표현할 수 있으며, 구의 모든 점은 적어도 하나의 좌표조각으로 표현된다.