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유계 선형 작용소의 성질

정리¹

$V$를 놈 공간, $T$를 유계선형작용소, $W \subset V$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a)

$$T\left( \overline{W} \right) \subset \overline{T(W)}$$

더하여 $T$가 가역이고, $T^{-1}$도 유계선형작용소이면 다음이 성립한다.

$$T\left( \overline{W} \right) = \overline{T(W)}$$

이때 $\overline{W}$는 $W$의 클로져이다.

(b)

$\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$를 $V$ 내의 수열, $\mathbf{v} \in V$ 라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$\lim \limits _{k \to \infty} \mathbf{v}_{k} = \mathbf{v} \implies \lim \limits _{k \to \infty} T\mathbf{v}_{k} = T\mathbf{v}$$

(c)

$V$ 내의 수열 $\left\{ \mathbf{v}_{k} \right\}$와 어떤 상수 $\left\{ c_{k} \right\}$에 대해서 $\sum \limits_{k=1}^{\infty} c_{k}\mathbf{v}_{k}$가 수렴한다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$T \sum \limits_{k=1}^{\infty} c_{k} \mathbf{v}_{k} = c_{k} \sum \limits_{k=1}^{\infty} T \mathbf{v}_{k}$$

설명

유계인 작용소는 연속이고, (b) 는 함수가 연속일 동치조건 이므로 당연한 사실이라고 볼 수 있다.

증명

(b)

$T$가 유계이고 선형이므로 다음의 식이 성립한다.

$$\left\| T \mathbf{v}_{k} - T \mathbf{v} \right\| = \left\| T (\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v}) \right\| \le \left\| T \right\| \left\|\mathbf{v}_{k} - \mathbf{v} \right\|$$

따라서 $\mathbf{v}_{k} \to \mathbf{v}$이면, $T \mathbf{v}_{k} \to T \mathbf{v}$이다.

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