📂기하학

미분가능한 다양체

정의¹

$M$을 임의의 집합, $U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n}$을 열린 집합이라고 하자. $1-1$함수 $\mathbf{x}_{\alpha} : U_{\alpha} \to M$에 대해서 다음의 조건을 만족하는 순서쌍 $\left( M, \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha\in \mathscr{A}} \right)$ 혹은 간단히 $M$을 $n$차원의 미분가능한 다양체^{differentiable manifold of dimension $n$}라고 정의한다.

1. $\bigcup \limits_{\alpha} \mathbf{x}_{\alpha} \left( U_{\alpha} \right) = M$
2. $\varnothing \ne W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$에 대해서, 사상 $\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} : \mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(W) \to \mathbf{x}_{\beta}^{-1}(W)$가 미분가능하다.
3. 조건 1, 2를 만족하는 가능한 모든 $\alpha$에 대해서 인덱스 패밀리 $\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$를 구성한다.

설명

• 간단히 미분 다양체 혹은 매끄러운 다양체^{smooth manifold}라고도 한다. $n$차원 미분다양체를 $M^{n}$로 표기하기도 한다.

• $p \in \mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})$일 때, $\left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right)$ 혹은 간단히 $\mathbf{x}_{\alpha}$를 $p$에서 $M$의 좌표계^{system of coordinates of $M$ at $p$}, 국소 좌표계 혹은 매개변수화^{parameterization}이라고 한다.

• $\mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})$를 $p \in M$에서의 좌표 근방^{coordinate neighborhood}이라고 한다.

• 조건 3.의 인덱스 패밀리 $\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$를 $M$ 위에서 미분가능한 구조^{differentiable structure on $M$}

• $p \in M$에 대해서, $\mathbf{x}_{\alpha}^{-1}(p) = \left( x_{1}(p), \dots, x_{n}(p) \right)$를 만족하는 $x_{i}$들을 좌표 함수^{coordinate function}이라 한다.

1번. $M$은 완전히 임의의 집합으로 주어지기 때문에(즉 일반적으로 거리공간이 아니기 때문에) $\mathbf{x}_{\alpha}$가 미분가능한지 아닌지에 대한 논의를 할 수가 없다. 또한 $M$은 여러 이미지들의 합집합이기 때문에 각각의 교집합 $W = \mathbf{x}_{\alpha}\left( U_{\alpha} \right) \cap \mathbf{x}_{\beta}\left( U_{\beta} \right)$에서 적당히 좋은 조건이 필요한데, 여기에서는 이를 미분가능하다는 조건으로 준 것이다.

한편 사상 $\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha}$의 조건에 따라서 다양체가 여러 이름으로 불리게 된다. 가령 미분대신 연속이라는 조건이 주어지면 $M$은 위상 다양체^{topological manifold}가 된다. 홀로모픽이라는 조건이 주어지면 $M$은 복소 다양체^{complex manifold}가 된다. 또한 $\mathbf{x}_{\beta}^{-1} \circ \mathbf{x}_{\alpha} \in C^{k}$이면 $M$은 $C^{k}$ 다양체라고 불린다. 미분기하학에서는 미분이라는 도구로 기하학을 설명하고 싶기 때문에 미분가능한 다양체를 다루게 된다.

3번. 이 내용은 기술적인 부분이며, 두 미분가능한 구조가 같냐, 다르냐 등의 얘기를 피하기 위해서 존재하는 조건이다. 1과 2를 만족하는 그러한 것들을 모두 모아놨다고 가정할거니까 ‘이런건 어때?’, ‘얘도 들어있음?‘과 같은 태클을 걸지 말라는 뜻으로 생각하면 되겠다.

예시

유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$

$$ \mathbb{R}^{n} = \left\{ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) : x_{i} \in \mathbb{R} \right\} $$

다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 공간으로 설명되기도 하기때문에 $\mathbb{R}^{n}$이 미분가능한 다양체인 것은 당연하다면 당연한 사실이다. ${\rm id}$를 항등 작용소라고 하자.

1. 미분가능한 구조를 $\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right) | U_{\alpha} \subset \mathbb{R}^{n} \text{ is open.} \right\}$와 같이 두면 성립한다.

2. 항등 작용소는 미분 가능하므로 성립한다.

3. 이러한 모든 순서쌍에 대해서 인덱스 패밀리 $\left\{ \left( U_{\alpha}, {\rm id} \right)\right\}$를 구성한다.

그러면 $\left( \mathbb{R}^{n}, \left\{ {\rm id} \right\} \right)$은 미분가능한 다양체이다.

2차원 구면 $\mathbb{S}^{2}$

$$ \mathbb{S}^{2} = \left\{ p \in \mathbb{R}^{3} : \left\| p \right\|=1 \right\} $$

2차원 구면은 다음과 같이 6개의 좌표조각으로 표현할 수 있다. $(u,v) \in U = \left\{ (u,v) : u^{2} + v^{2} \lt 1 \right\}$에 대해서,

좌표조각	정의	역
$\mathbf{x}_{1} = \mathbf{x}_{(0,0,1)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,0,1)}(u, v) = \left( u, v , \sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$	$\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{2} = \mathbf{x}_{(0,0,-1)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,0,-1)}(u, v) = \left( u, v , -\sqrt{1- u^{2} -v^{2} } \right)$	$\mathbf{x}_{(0,0,-1)}^{-1}(x, y, z) = (x,y)$
$\mathbf{x}_{3} = \mathbf{x}_{(0,1,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,1,0)}(u, v) = \left( u, \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$	$\mathbf{x}_{(0,1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{4} = \mathbf{x}_{(0,-1,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(0,-1,0)}(u, v) = \left( u, -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, v \right)$	$\mathbf{x}_{(0,-1,0)}^{-1}(x, y, z) = (x,z)$
$\mathbf{x}_{5} = \mathbf{x}_{(1,0,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(1,0,0)}(u, v) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$	$\mathbf{x}_{(1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$
$\mathbf{x}_{6} = \mathbf{x}_{(-1,0,0)} : U \to \R^{3}$	$\mathbf{x}_{(-1,0,0)}(u, v) = \left( -\sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right)$	$\mathbf{x}_{(-1,0,0)}^{-1}(x, y, z) = (y,z)$

1. $\bigcup \limits_{i=1}^6 \mathbf{x}_{i} = \mathbb{S}^{2}$가 성립한다.

2. $\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}$는 다음과 같으므로 미분 가능하다.

$$\mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \circ \mathbf{x}_{(1,0,0)}(u,v) = \mathbf{x}_{(0,0,1)}^{-1} \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u, v \right) = \left( \sqrt{1- u^{2} -v^{2}}, u \right) \in C^{\infty}$$

3. 이러한 방식으로 1,2를 만족하는 가능한 모든 순서쌍을 모아 인덱스 패밀리 $\left\{ \left( U_{\alpha}, \mathbf{x}_{\alpha} \right) \right\}$를 구성한다.

그러면 $\left( \mathbb{S}^{2} , \left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\} \right)$는 미분가능한 다양체이다.