📂미분적분학

매끄러운 함수의 정의

정의

1. 함수 $f$가 무한히 미분 가능하면, $f$를 매끄러운^{smooth, 스무스} 함수라고 한다.

2. 함수 $f$가 미분 가능하고 $f^{\prime}$가 연속이면, $f$를 매끄러운 함수라고 한다.

설명

1. 해석학, 함수해석학 등에서 매끄럽다는 말은 첫번째 정의를 의미할 확률이 높다. '무한히 미분 가능’하다는 말에 애매함이 있는데, 이를 다음과 같이 받아들이면 된다. $$ \text{임의의 자연수 $n$에 대해서, $f$의 $n$계 도함수가 존재한다.} $$ 즉, 무한히 미분 가능한 함수라는 것은 어떤 자연수 $n$에 대해서도, "너 $n$번 미분 가능해?"라는 질문에 "ㅇㅇ"라고 대답할 수 있는 함수이다. 특히 함수공간에 대해서 얘기를 하고 있다면 매끄러운 함수란 $C^{\infty}$ 공간의 원소를 가리킨다.

2. 한편 미분적분학, 기하학 등에서 매끄럽다는 말은 두번째 정의를 의미할 확률이 높다. 여기에서는 함수가 딱히 무한히 미분가능해야할 필요도 없고, 특히 미분적분학에서는 무한히 미분 가능하다는 것을 정의하고 다루고 싶은 것도 아니므로 $C^{1}$ 정도로만 매끄러워도 매끄러운 함수라고 한다. ‘연속적으로 미분 가능하다’와 정의가 같다.