📂행렬대수

고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도

대수적 중복도

행렬 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 에 대해 고유값은 $\det (A - \lambda I ) =0$ 을 만족하는 $\lambda$ 로 정의된다. 특성방정식은 $\lambda$ 에 대한 $m$ 차 방정식, 즉

$$\det (A - \lambda I ) = (-1)^m \lambda ^m + c_{m-1} \lambda ^{m-1} + \cdots + c_{1} \lambda + c_{0} = 0$$

으로 나타낼 수 있다. 대수학의 기본정리에 의해, 특성방정식은 복소수를 포함하여 정확히 $m$ 개의 근을 갖는다. 여기서 근은 중근을 포함하는데, 중근을 갖는다는 것은 곧 고유값이 중복을 포함해서 구해질 수 있다는 의미가 된다. 중근에 초점을 맞추기 위해 특성방정식을 인수분해 한 꼴로 나타내보자.

$$\det ( A - \lambda I) = c (\lambda - \lambda_1)^{a_1} (\lambda - \lambda_2)^{a_2} \cdots (\lambda - \lambda_k)^{a_k}$$

$$k \le m \\ \sum_{i=1}^{k} a_{i} = m$$

위와 같이 표현했을 때 행렬 $A$ 는 서로 다른 $k$ 개의 고유값을 가지며, $\lambda_{i}$ 는 $a_{i}$ 개만큼 중복된다. 이를 고유값 $\lambda_{i}$ 가 대수적 중복도 $a_{i}$를 갖는다고 정의한다.

기하적 중복도

한편 고유값의 또 다른 설명으로써 기하학적인 의미를 생각해보자. 행렬 $A$ 의 고유값 $\lambda_{i}$ 에 대해 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in \mathbb{C}^{m}$ 이 행렬방정식 $A \mathbf{x} = \lambda_{i} \mathbf{x}$ 의 해가 된다고 두자. 그러면 두 벡터 $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2$ 는 같은 고유값 $\lambda_{i}$ 에 해당하는 고유벡터가 될 것이다. 물론 한 고유값에 대해서 고유벡터는 무한히 존재하긴 한다. 기하학적으로 설명하자면 고유벡터 $\mathbf{x}$ 의 크기를 늘이고 줄인 $\alpha \mathbf{x}$ 가 존재하기 때문이다.

하지만 만약 $\mathbf{x}_{1}$ 과 $\mathbf{x}_{2}$ 가 서로 수직이라면 어떨까? 이들은 같은 고유값을 공유하지만 선형독립이라는 점에서 늘이고 줄여서 서로를 표현할 수 없다.

이제 이러한 논의를 일반화해보자.

$$S_{\lambda_{i}} = \left\{ x \in \mathbb{C}^{m} \ | \ A \mathbf{x} = \lambda_{i} \mathbf{x} \right\}$$

는 행렬 $A$ 의 고유값 $\lambda_{i}$ 에 해당하는 모든 고유 벡터의 집합이 된다. 여기서 $g_{i} = \dim S_{\lambda_{i}}$ 라고 나타내면, $g_{i}$ 는 고유값 $\lambda_{i}$ 를 공유하되 수직이 되는 고유 벡터들의 종류의 갯수가 된다. 이를 고유값 $\lambda_{i}$ 가 기하적 중복도 $g_{i}$ 를 갖는다고 정의한다.

같이보기

대수적 중복도와 기하적 중복도의 비교

당연하지만 대수적 중복도와 기하적 중복도가 일반적으로 같다는 보장은 어디에도 없다. 그리고 어디선가 별 다른 설명 없이 그냥 고유값의 중복도라는 표현을 사용했다면, 그것은 십중팔구 (대수적) 중복도를 뜻한다.

별로 쓰지도 않을 기하적 중복도를 따로 정의한 이유 중 하나로, (물론 수학의 본질이라는 설명으로도 충분하지만) 물리학에서 그 개념이 등장하게 된다.

양자역학에서의 축퇴

서로 다른 두 파동함수가 같은 고유값을 가지는 상태를 말하는데, ‘행렬식을 다항함수의 형태로 나타내는 것’에 큰 의미를 두지 않는 물리학에서 이러한 상황은 기하적 중복을 의미한다. 수학에서 고유값만 가지곤 고유벡터를 분간할 수 없듯, 물리학에서도 에너지 준위만 가지곤 파동함수를 구별할 수 없는 것이다.