사상 f:Rn→Rm\mathbf{f} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}f:Rn→Rm이 아래와 같이 주어졌다고 하자.
f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x)),x∈Rn \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \left( f_{1}(\mathbf{x}), f_{2}(\mathbf{x}), \dots, f_{m}(\mathbf{x}) \right),\quad \mathbf{x}\in \R^{n} f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x)),x∈Rn
f\mathbf{f}f의 전 도함수, 혹은 야코비 행렬은 다음과 같다.
f′=J=[∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1⋯∂fm∂xn] \mathbf{f}^{\prime} = J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{bmatrix} f′=J=∂x1∂f1⋮∂x1∂fm⋯⋱⋯∂xn∂f1⋮∂xn∂fm
모든 점 x∈Rn\mathbf{x} \in \R^{n}x∈Rn에서 f\mathbf{f}f의 야코비 행렬의 랭크가 nnn이면 f\mathbf{f}f를 정칙 사상regulear mapping이라 한다.
Barrett O’Neill, Elementary Differential Geometry (Revised 2nd Edition, 2006), p39-40 ↩︎
