logo

에르미트 행렬의 고유값은 항상 실수다 📂행렬대수

에르미트 행렬의 고유값은 항상 실수다

정리

AA를 크기가 n×nn \times n인 에르미트 행렬이라고 하자. 그러면 AA 의 고유값은 모두 실수다.

설명

일반적인 행렬에서 고유값이 실수라는 보장은 없고, 에르미트 행렬에 대해서는 증명을 통해 실수임을 확인할 수 있다.

직관적으로는 떠올리기 쉽지 않지만 증명 자체는 간단한 편이고, 팩트로써도 상당히 유용하다.후에 이어지는 양의 정부호 등의 개념과 결합해 여러가지 좋은 결과를 주므로 꼭 알아두도록 하자.

증명

AA 의 고유값을 λ\lambda, λ\lambda 에 해당하는 고유벡터를 x\mathbf{x}라고 하자. 그러면 고유값 방정식은 다음과 같다.

Ax=λx A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}

양변의 좌측에 x∗\mathbf{x}^{\ast}를 곱하면 다음과 같다.

x∗Ax=λx∗x \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \end{equation}

양변에 켤레 전치 ∗^{ \ast }를 취하면 켤레 전치의 성질에 의해 다음과 같다.

(x∗Ax)∗=(λx∗x)∗  ⟹  x∗A∗x=λ‾x∗x \begin{align*} \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \right) ^{\ast} = & \left( \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \right) ^{\ast} \\ \implies \mathbf{x}^{\ast} A^{ \ast } \mathbf{x} = & \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{align*}

AA 는 에르미트 행렬이므로 A=A∗A=A^{\ast}이고 위 식은 아래와 같다.

x∗Ax=λ‾x∗x \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{equation}

(1)(1)과 (2)(2) 에 의해 다음의 식이 성립한다.

λx∗x=x∗Ax=x∗A∗x=λ‾x∗x \lambda \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A^{ \ast } \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x}

따라서 (λ−λ‾)x∗x=0 ( \lambda - \overline{\lambda} ) \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = 0

그런데 x\mathbf{x} 는 고유벡터이므로 0\mathbf{0} 이 아니다. 따라서 x∗x≠0\mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \ne \mathbf{0}이다. 그러므로

λ=λ‾ \lambda = \overline{\lambda}

가 성립하고 이는 λ\lambda가 실수임을 의미한다.

■

같이보기