📂르벡공간

L infinity 공간

정의¹

• $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $\Omega$위의 가측 함수 $u$에 대해서 다음의 조건을 만족하는 상수 $K$가 존재하면, $u$는 $\Omega$ 위에서 에센셜리 바운디드^{essentially bounded}라고 한다.

  $$ \left| u(x) \right| \le K \text{ a.e. on } \Omega $$

  여기서 $\text{a.e.}$는 거의 어디에서나를 의미한다.

• 이러한 $K$의 최대하계를 $\left| u \right|$의 에센셜 슈프리멈^{essential supremum}이라 하고 다음과 같이 표기한다.

  $$ \underset{x\in \Omega}{\text{ess sup}}\left| u(x) \right| := \inf \left\{ K : \left| u(x) \right| \le K \text{ a.e. on } \Omega \right\} $$

• $\Omega$ 위에서 에센셜리 바운드한 모든 함수 $u$들의 집합을 $L^{\infty}(\Omega)$라고 정의한다.

  $$ L^{\infty}(\Omega) := \left\{ u : u \text{ is essentially bounded on } \Omega \right\} $$

설명

$L^{\infty}$ 공간은 L infinity space라 읽는다.

‘거의 어디에서나 유계’라는 말은 ‘솔직히 유계임’, ‘까놓고 말해서 유계임’과 같으므로 ‘본질적으로 유계’라고 하는데 무리가 없다. 특히나 $L^{p}$ 공간에서는 적분으로 말하기 때문에 거의 어디에서나 유계이면 말 그대로 본질적으로 유계인 것이다.

한편 $L^{\infty}$ 공간은 놈 공간이 되는데, 위에서 정의한 에센셜 슈프리멈을 그대로 쓰면 된다.

$$ \left\| u \right\|_{\infty} = \underset{x\in \Omega}{\text{ess sup}}\left| u(x) \right|, \quad u \in L^{\infty}(\Omega) $$

이게 실제로 놈이 됨을 확인하는 것은 어렵지 않다. 중요한 사실은 표기법에서 예상할 수 있듯이 이것이 실제로 $\left\| u \right\|_{p}$의 극한과 같다는 것이다. $p \lt \infty$에 대해서 $u \in L^{\infty} \cap L^{p}$이면

$$ \left\| u \right\|_{\infty} = \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} $$

또한 $1 \lt p, p^{\prime} \lt \infty$에서 성립했던 횔더 부등식과 이의 따름정리들이 $p = 1, p^{\prime} = \infty$와 $p = \infty, p^{\prime} = 1$에 대해서도 성립하도록 확장된다.

횔더 부등식

다음의 식을 만족시키는 두 상수 $1 \le p \le \infty, 1 \le p^{\prime} \le \infty$가 주어졌다고 하자.

$$ \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right) $$

만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$이면 $uv \in L^1(\Omega)$이고 아래의 부등식이 성립한다.

$$ \| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}} $$