📂르벡공간

횔더 부등식의 역: Lp 함수일 충분조건

정리¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. 가측 함수 $u$가 $L^{p}$ 공간에 포함될 필요충분조건은

$$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$$

이다. 또한 위의 슈프리멈은 $\left\| u \right\|_{p}$와 같다. 이때 $p^{\prime} = \dfrac{p}{p-1}$는 횔더 켤레이다.

설명

$1 \lt p \lt \infty$이고 $v \in L^{p^{\prime}}$라고 하자. 그러면 횔더 부등식은 $u \in L^{p}$이면 $uv \in L^{1}$라는 것을 말해준다.

$$u\in L^{p}(\Omega) \implies \int_{\Omega} \left| u(x) v(x) \right| dx \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}$$

반대로 위 정리는 $uv \in L^{1}$이면 $u \in L^{p}$라는 것을 말해준다.

$$u\in L^{p}(\Omega) \impliedby \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$$

증명

$$u \in L^{p}(\Omega) \iff \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$$

• $(\implies)$

  $\left\| u \right\|_{p} = 0$인 경우는 자명하다. $0 \lt \left\| u \right\|_{p} \lt \infty$라고 하자. $0 \le v$이고 $\left\| v \right\|_{q} \le 1$인 $v \in L^{p^{\prime}}$에 대해서 횔더 부등식을 적용하면,

  $$\int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le \left\| u \right\|_{p} \lt \infty$$

  또한 $v = \left( \dfrac{ \left| u \right| }{ \left\| u \right\|_{p} } \right)^{p/p^{\prime}}$이라고 두면 $\left\| v \right\|_{p^{\prime}} = 1$이고 등호가 성립한다. $p/p^{\prime} = p \dfrac{p-1}{p} = p-1$이므로,

  $$\begin{align*} \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx =&\ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| \dfrac{ \left| u(x) \right|^{p/p^{\prime}} }{ \left\| u \right\|_{p}^{p/p^{\prime}} } dx \\ =&\ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| \dfrac{ \left| u(x) \right|^{p-1} }{ \left\| u \right\|_{p}^{p-1} } dx \\ =&\ \dfrac{1}{ \left\| u \right\|_{p}^{p-1} } \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx \\ =&\ \dfrac{1}{ \left\| u \right\|_{p}^{p-1} } \left\| u \right\|_{p}^{p} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p} \end{align*}$$

  따라서

  $$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} = \left\| u \right\|_{p} \lt \infty$$

• $(\impliedby)$

  대우법으로 증명한다. 즉 보일 것은 다음과 같다.

  $$\left\| u \right\|_{p} = \infty \implies \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} = \infty$$

  ---

  $\left\| u \right\|_{p} = \infty$라고 가정하자. 그러면 우리는 $\Omega$ 위에서 $0 \le s_{j}(x) \le \left| u(x) \right|$를 만족하는 어떤 단순함수 $s_{j}$들로 이루어진 증가수열 $\left\{ s_{j} \right\}$를 생각할 수 있다. 그러면 $\lim \limits_{j \to \infty} \left\| s_{j} \right\|_{p} = \infty$를 만족한다. 이제 $v_{j} = \left( \dfrac{ \left| s_{j} \right| }{ \left\| s_{j} \right\|_{p} } \right)^{p/p^{\prime}}$이라고 두자. 그러면 $v_{j} \ge 0$이고 아래와 같이 $\left\| v_{j} \right\|_{p^{\prime}} = 1$을 만족한다.

  $$\begin{align*} \left\| v_{j} \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} =&\ \int_{\Omega} \left( \dfrac{ \left| s_{j} \right| }{ \left\| s_{j} \right\|_{p} } \right)^{p} dx \\ =&\ \dfrac{1}{ \left\| s_{j} \right\|_{p}^{p} } \int_{\Omega} \left| s_{j} \right|^{p} dx \\ =&\ 1 \end{align*}$$

  또한 $p/p^{\prime} = p \dfrac{p-1}{p} = p-1$이므로 다음의 식이 성립한다.

  $$\int_{\Omega} s_{j}(x) v_{j}(x) dx = \dfrac{1}{\left\| s_{j} \right\|_{p}^{p-1}}\int_{\Omega} \left| s_{j}(x) \right|^{p} dx = \left\| s_{j} \right\|_{p}$$

  그러면 다음의 이 성립한다.

  $$\int_{\Omega} \left| u(x) \right| v_{j}(x) dx \ge \int_{\Omega} s_{j}(x) v_{j}(x) dx = \left\| s_{j} \right\|_{p}$$

  따라서 $\lim \limits_{j \to \infty} \left\| s_{j} \right\|_{p} = \infty$이므로

  $$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} = \infty$$

■