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벡터 넓이의 정의와 성질 📂수리물리

벡터 넓이의 정의와 성질

정의

vector_area.png

위 그림과 같이 주어진 면 SS에 대해서 다음의 적분을 SS의 벡터 넓이vector area라고 한다.

a:=∫Sda \mathbf{a} := \int_{\mathcal{S}} d \mathbf{a}

설명

hemisphere.png

예로 반지름이 RR인 반구의 벡터넓이를 구해보자. da=R2sin⁡θdθdϕr^d \mathbf{a} = R^{2}\sin\theta d\theta d\phi \hat{\mathbf{r}}이다. 여기서

r^=cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^ \hat{\mathbf{r}} = \cos\phi \sin\theta \hat{\mathbf{x}} + \sin\phi \sin\theta\hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\hat{\mathbf{z}}

인데, 이를 북반구 영역에 대해서 적분하면 x^\hat{\mathbf{x}}, y^\hat{\mathbf{y}} 성분은 모두 상쇄되어 z^\hat{\mathbf{z}} 성분만 남는다. 따라서 다음을 얻는다.

a=∫ϕ=02π∫θ=0π/2R2sin⁡θcos⁡θdθdϕz^=2πR2∫θ=0π/2sin⁡θcos⁡θdθz^=2πR212z^=πR2z^ \begin{align*} \mathbf{a} &= \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi/2} R^{2}\sin\theta \cos\theta d\theta d\phi \hat{\mathbf{z}} \\ &= 2\pi R^{2} \int_{\theta=0}^{\pi/2} \sin\theta \cos\theta d\theta \hat{\mathbf{z}} \\ &= 2\pi R^{2} \dfrac{1}{2} \hat{\mathbf{z}} \\ &= \pi R^{2} \hat{\mathbf{z}} \end{align*}

θ\theta에 대한 적분은 삼각함수 적분표의 (1)(1)에 의해 성립한다.

성질

  1. 닫힌 곡면의 벡터 넓이는 항상 a=0\mathbf{a} = \mathbf{0}이다.

  2. 테두리가 같은 면의 벡터 넓이는 항상 같다.

  3. 다음의 적분이 성립한다. a=12∮r×dl \mathbf{a} = \dfrac{1}{2}\oint \mathbf{r} \times d \mathbf{l}

  4. 모든 상수벡터 c\mathbf{c}에 대해서 다음이 성립한다. ∮(c⋅r)dl=a×c \oint (\mathbf{c} \cdot \mathbf{r}) d \mathbf{l} = \mathbf{a} \times \mathbf{c}