📂편미분방정식

라플라스 방정식의 기본해

빌드업¹

라플라스 방정식은 회전변환에 대해서 불변하므로 $u(x)$의 변수를 반지름으로 바꿔서 생각할 것이다. 그러면 아래와 같은 과정을 거쳐 미분방정식을 더 쉬운 꼴로 만들어 줄 수 있다.

$u=u(x)$를 라플라스 방정식의 해라고 하자.

$$\Delta u = 0$$

그리고 $r=|x|=(x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2})^{1/2}$라고 두고, $v\in C^2$이고 $u(x) = v(|x|) = v(r) (x\in \mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\})$라고 하자.

$$\begin{align*} v(r) &= u(x) \\ \Delta v &= 0 \end{align*}$$

이제 $u$의 라플라스 방정식을 나타내기위해 다음의 미분들을 계산하자.

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} &= \dfrac{\partial}{\partial x_{i}} (x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} )^{1/2} \\ &= \dfrac{1}{2(x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} )^{1/2}}2x_{i} \\ &= \dfrac{x_{i}}{(x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} )^{1/2}} \\ &= \dfrac{x_{i}}{r} \end{aligned} \quad \text{and} \quad \begin{aligned} u_{x_{i}}(x) &= \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} v(r) \\ &= \dfrac{d v(r)}{d r}\dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} \\ &= v^{\prime}(r) \dfrac{x_{i}}{r} \end{aligned} \end{equation*}$$

$$\begin{align*} u_{x_{i}x_{i}} &= \dfrac{\partial }{\partial x_{i} } \left( v^{\prime}(r)\dfrac{x_{i}}{r} \right) \\ &= \dfrac{\partial v^{\prime}(r)}{\partial x_{i}} \dfrac{x_{i}}{r} + v^{\prime}(r)\dfrac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\dfrac{x_{i}}{r}\right) \\ &= \dfrac{d v^{\prime}(r)}{dr} \dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} \dfrac{x_{i}}{r} + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{1}{r} + x_{i}\dfrac{\partial}{ \partial x_{i}} \left(\dfrac{x_{i}}{r}\right) \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) \dfrac{x_{i}^{2}}{r^{2}} + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{1}{r} + x_{i}\dfrac{d}{dr} \left( \dfrac{1}{r} \right) \dfrac{\partial r}{\partial x_{i}} \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) \dfrac{x_{i}^{2}}{r^{2}} + v^{\prime}(r)\left(\dfrac{1}{r} + x_{i}\left(-\dfrac{1}{r^{2}}\right) \dfrac{x_{i}}{r} \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) \dfrac{x_{i}^{2}}{r^{2}} + v^{\prime}(r)\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{x_{i}^{2}}{r^{3}} \right) \end{align*}$$

그러면 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$$\begin{align*} \Delta u &= \sum \limits_{i}^{n} u_{x_{i} x_{i}} \\ &= \dfrac{v^{\prime \prime}(r)}{r^{2}}\left( x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} \right) + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{n}{r} - \dfrac{x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2}}{r^{3}} \right) \\ &= \dfrac{v^{\prime \prime}(r)}{r^{2}}r^{2} + v^{\prime}(r) \left( \dfrac{n}{r} - \dfrac{r^{2}}{r^{3}} \right) \\ &= v^{\prime \prime}(r) + \dfrac{n-1}{r} v^{\prime}(r) & x\ne 0 \end{align*}$$

따라서 아래의 두 식이 서로 같다

$$\Delta u =0 \text{ in }\mathbb{R}^n\setminus\left\{ 0\right\} \iff v^{\prime \prime}(r ) + \dfrac{n-1}{r}v^{\prime}(r)=0\quad (r>0)$$

$u(x)$의 라플라스 방정식을 푸는 문제가 $v(r)$의 2계 상미분방정식을 푸는 문제로 바뀐 것이다.

이제 $v^{\prime \prime}+\dfrac{n-1}{r}v^{\prime}=0 \text{ in } (0, \infty)$ 그리고 $v^{\prime}\ne 0 \text{ in } (0, \infty)$라고 가정하자.

그러면 정리해서 다음의 식을 얻는다.

$$\dfrac{v^{\prime \prime}}{v^{\prime}} = \dfrac{1-n}{r}$$

$w=v^{\prime} \in C^{1}(0, \infty)$라고 치환하면 다음을 얻는다.

$$\dfrac{w^{\prime}}{w} = \dfrac{1-n}{r}$$

좌변을 적분하면 아래와 같다.

$$\int_{1}^{s} \dfrac{w^{\prime}}{w} dr = \log |w(s)| - \log |w(1)| = \log \left| \dfrac{w(s)}{w(1)} \right|$$

우변을 적분하면 아래와 같다.

$$\int_{1}^{s} \dfrac{1-n}{r} dr = (1-n) \left[ \log s - \log 1 \right] = (1-n)\log s =\log s^{1-n}$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\dfrac{|w(s)|}{|w(1)|}=s^{1-n} \implies |w(s)|=|w(1)|s^{1-n} (s>0)$$

다시 $v$로 나타내면 다음과 같다.

$$v^{\prime}(s)=w(s)=w(1)s^{1-n}=v^{\prime}(1)s^{1-n}$$

이때 $v(r)-v(1)$에 미분적분학의 기본정리를 적용하고, 위 식을 대입해 정리하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} v(r)-v(1) &= \int_{1}^{r} v^{\prime}(s) ds = v^{\prime}(1)\int_{1}^{r} s^{1-n} ds \\ &= \begin{cases} v^{\prime}(1)\log r & n=2 \\ v^{\prime}(1) \dfrac{1}{2-n}(r^{2-n}-1) & n \ge 3 \end{cases} \end{align*}$$

$v(r)$에 대해서 정리하면 다음과 같다.

$$v(r) = \begin{cases} v^{\prime}(1)\log r + v^{\prime}(1) & n=2 \\ v^{\prime}(1)\dfrac{1}{2-n} \dfrac{1}{r^{n-2}} + \left(v(1)+\dfrac{v^{\prime}(1)}{n-2} \right) & n \ge 3 \end{cases}$$

상수부분을 $b, c$라고 표현하면 다음과 같이 간단하게 정리할 수 있다.

$$v(r) = \begin{cases} b\log r + c & n=2 \\ \dfrac{b}{r^{n-2}} + c & n \ge 3 \end{cases}$$

위의 결과로부터 라플라스 방정식의 기본해를 정의한다.

정의

$x \in \mathbb{R}^{n}$이고, $x \ne 0$에 대해 아래의 함수 $\Phi$를 라플라스 방정식의 기본해^{fundamental solution}라고 정의한다.

$$\Phi (x) := \begin{cases} -\dfrac{1}{2\pi}\log |x| & n=2 \\ \dfrac{1}{n(n-2)\alpha (n)} \dfrac{1}{|x|^{n-2}} & n \ge 3 \end{cases}$$

여기서 $\alpha (n)$은 $\mathbb{R}^{n}$의 유닛볼 $B(0,\ 1)$의 부피이다. $n\alpha (n)$은 $\mathbb{R}^{n}$에서 유닛볼의 표면적이다.