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회전변환, 회전행렬 📂행렬대수

회전변환, 회전행렬

정의

2차원 평면 R2\mathbb{R}^{2}에서 임의의 벡터를 반시계반향으로 θ\theta만큼 회전시키는 변환은 다음과 같다.

[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy] \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

설명

행렬 [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}를 회전 행렬rotation matrix 혹은 회전 변환rotation transformation 이라 한다.

유도

x=rcos⁡ϕx = r \cos \phi, y=rsin⁡ϕy = r \sin \phi라고 하자. (x′,y′)(x^{\prime}, y^{\prime})을 점 (x,y)(x, y)를 θ\theta만큼 회전시켰을 때의 점이라 하자. 삼각함수의 덧셈정리에 의해 x′,y′x^{\prime}, y^{\prime}은 각각 다음과 같다.

x′=rcos⁡(ϕ+θ)=rcos⁡ϕcos⁡θ−rsin⁡ϕsin⁡θ=xcos⁡θ−ysin⁡θ \begin{align*} x^{\prime} &= r \cos(\phi + \theta) \\ &= r\cos\phi \cos\theta - r\sin\phi \sin\theta \\ &= x \cos\theta - y \sin\theta \\ \end{align*}

y′=rsin⁡(ϕ+θ)=rsin⁡ϕcos⁡θ+rcos⁡ϕsin⁡θ=ycos⁡θ+xsin⁡θ=xsin⁡θ+ycos⁡θ \begin{align*} y^{\prime} &= r \sin(\phi + \theta) \\ &= r\sin\phi \cos\theta + r\cos\phi \sin\theta \\ &= y \cos\theta + x \sin\theta \\ &= x \sin\theta + y \cos\theta \end{align*}

  ⟹  {x′=xcos⁡θ−ysin⁡θy′=ycos⁡θ+xsin⁡θ \implies \begin{cases} x^{\prime} = x \cos\theta - y \sin\theta \\ y^{\prime} = y \cos\theta + x \sin\theta \end{cases}

이 연립 방정식을 행렬로 나타내면 다음과 같다.

[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy] \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

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