📂편미분방정식

수송 방정식

정의¹

아래의 편미분방정식을 수송방정식^{transport equation}이라 한다.

$$\begin{equation} u_{t} + b \cdot Du=0\quad \text{in }\mathbb{R}^n \times (0,\ \infty) \end{equation}$$

• $b=(b_{1}, b_2, \cdot, b_{n}) \in \mathbb{R}^n$은 고정된 벡터
• $u=u(x,t)$는 $u:\mathbb{R}^n \times [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$
• $x=(x_{1}, \cdots , x_{n})\in \mathbb{R}^n$
• $t \ge 0$는 시간
• $Du=D_{x}u=(u_{x_{1}}, \cdots ,u_{x_{n}})$는 공간변수 $x$에 대한 $u$의 그래디언트

설명

$u \in C^1$가 $(1)$의 해라고 가정하자. 그러면 고정된 점 $(x,t)$을 지나는 $(b,1)$방향의 선, $(x+sb,\ t+s)=(x,\ t)+s(b,\ 1)$ 위에서 $u$는 상수이다. 즉, $u(x+sb,\ t+s)$는 $s$의 값에 무관하다. 이는 다음과 같은 과정으로 확인할 수 있다. $z$를 다음과 같이 정의하자.

$$z(s):=u(x+sb,\ t+s)\quad (s \in \mathbb{R})$$

$\dfrac{dz(s)}{ds}=0$임을 보이면 된다.

$$\begin{align*} \dot{z}(s) &= \dfrac{dz}{ds} \\ &= \dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{d x}{d s} + \dfrac{\partial u}{\partial t}\dfrac{d t}{d s} \\ &= \dfrac{\partial u(x+sb,\ t+s)}{\partial x}\cdot\dfrac{d(x+sb)}{ds}+u_{t}(x+sb,\ t+s) \\ &= Du(x+sb,\ t+s) \cdot b +u_{t}(x+sb,\ t+s) \\ &= 0 \end{align*}$$

$u$는 $(1)$을 만족하므로 마지막 등호가 성립한다.

같이보기

• 초기값 문제와 비동차 문제 풀이