선형변환의 행렬표현
정의1
$V, W$를 유한차원 벡터공간이라고 하자. $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$와 $\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$을 각각 $V$와 $W$의 순서기저라고 하자. $T : V \to W$를 선형변환 이라고 하자. 그러면 기저 표현의 유일성에 의해, 다음을 만족하는 스칼라 $a_{ij}$가 유일하게 존재한다.
$$ T(\mathbf{v}_{j}) = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}\mathbf{w}_{i} = a_{1j}\mathbf{w}_{1} + \cdots + a_{mj}\mathbf{w}_{m} \quad \text{ for } 1 \le j \le n $$
이때 $A_{ij} = a_{ij}$로 정의되는 $m \times n$ 행렬 $A$를 순서 기저 $\beta$와 $\gamma$에 대한 $T$의 행렬 표현matrix representation for $T$ relative to the basis $\beta$ and $\gamma$라고 하며, $[T]_{\gamma, \beta}$ 혹은 $[T]_{\beta}^{\gamma}$라고 표기한다.
설명
모든 선형변환은 행렬로 표현할 수 있고 반대로 행렬에 대응되는 선형변환이 존재하여, 선형변환이나 선형변환의 행렬 표현이나 본질적으로 같다. 선형대수학에서 행렬을 배우는 이유 중 하나가 이것이다. 정의로부터 이러한 행렬 표현은 기저의 상image을 이용해 찾을 수 있다.
$V=W$이고 $\beta=\gamma$이면 간단히 다음과 같이 표기한다.
$$ [T]_{\beta} = [T]_{\gamma, \beta} $$
성질
$V, W$를 순서기저 $\beta, \gamma$가 주어진 유한차원 벡터공간이라고 하자. 그리고 $T, U : V \to W$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$[T + U]_{\beta}^{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma} + [U]_{\beta}^{\gamma}$
$[aT]_{\beta}^{\gamma} = a[T]_{\beta}^{\gamma}$
$T$와 이의 역변환 $T^{-1}$에 대해 다음이 성립한다.$\\[0.6em]$
- $T$가 가역인 것은 $[T]_{\beta}^{\gamma}$가 가역인 것과 동치이다. 더하여 $[T^{-1}]_{\beta}^{\gamma} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}$이다.
$V, W, Z$를 유한차원 벡터공간, $\alpha, \beta, \gamma$를 각각의 순서기저라고 하자. 그리고 $T : V \to W$, $U : W \to Z$를 선형변환이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.$\\[0.6em]$
- $[UT]_{\alpha}^{\gamma} = [U]_{\beta}^{\gamma}[T]_{\alpha}^{\beta}$
행렬 찾기1
$V$의 기저를 $\beta$, $W$의 기저를 $\gamma$이라고 하자. 그리고 $\mathbf{x} \in V$의 좌표벡터를 $[\mathbf{x}]_{\beta}$, $T(\mathbf{x})\in W$의 좌표벡터를 $[T(\mathbf{x})]_{\gamma}$라고 하자.
그러면 우리의 목표는 $\mathbb{R}^{n}$벡터 $[\mathbf{x}]_{\beta}$를 행렬곱에 의해 $\mathbb{R}^{m}$벡터 $[T(\mathbf{x})]_{\gamma}$로 만드는 $m \times n$ 행렬 $A$를 찾는 것이다. $A$를 찾으면 주어진 $T$에 따라 구체적으로 $T(\mathbf{x})$를 계산하지 않고도 행렬곱을 계산하는 것으로 선형변환 $T$를 수행할 수 있다.
$$ \begin{equation} A[\mathbf{x}]_{\beta} = [T(\mathbf{x})]_{\gamma} \end{equation} $$
두 기저를 구체적으로 $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$, $\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{m} \right\}$이라고 하자. 그러면 각각의 $\mathbf{v}_{i}$에 대해서 $(1)$이 성립해야하므로 다음을 얻는다.
$$ \begin{equation} A[\mathbf{v}_{1}]_{\beta} = [T(\mathbf{v}_{1})]_{\gamma},\quad A[\mathbf{v}_{2}]_{\beta} = [T(\mathbf{v}_{2})]_{\gamma},\quad \dots,\quad A[\mathbf{v}_{n}]_{\beta} = [T(\mathbf{v}_{n})]_{\gamma} \end{equation} $$
행렬 $A$를 다음과 같다고 하자.
$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$
$[\mathbf{v}_{i}]_{\beta}$들은 다음과 같다.
$$ [\mathbf{v}_{1}]_{\beta} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad [\mathbf{v}_{2}]_{\beta} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \dots,\quad [\mathbf{v}_{n}]_{\beta} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} $$
따라서 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} A[\mathbf{v}_{1}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix} \\[3em] A[\mathbf{v}_{2}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix} \\[1em] &\vdots \\[1em] A[\mathbf{v}_{n}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} \end{align*} $$
그러면 $(2)$에 의해 다음을 얻는다.
$$ [T(\mathbf{v}_{1})]_{\gamma} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix},\quad [T(\mathbf{v}_{2})]_{\gamma} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix},\quad \dots,\quad [T(\mathbf{v}_{n})]_{\gamma} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix} $$
그러므로 행렬 $A$의 $j$번째 열은 $[T(\mathbf{v}_{j})]_{\gamma}$다.
$$ A = \begin{bmatrix} [T(\mathbf{v}_{1})]_{\gamma} & [T(\mathbf{v}_{2})]_{\gamma} & \cdots & [T(\mathbf{v}_{n})]_{\gamma}\end{bmatrix} $$
따라서 다음의 식이 성립한다.$$ [T]_{\gamma, \beta} [\mathbf{x}]_{\beta} = [T(\mathbf{x})]_{\gamma} = [T]_{\beta}^{\gamma}[\mathbf{x}]_{\beta} $$
이는 직관적으로 인접한(혹은 아랫첨자에서 중복되는) 2개의 $\beta$를 상쇄시키고, $\mathbf{x}$를 $T$에 대입시킨 것으로 볼 수 있다.