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선형변환의 놈 📂선형대수

선형변환의 놈

정의1

선형변환 TL(Rn,Rm)T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})을 다음과 같이 정의한다.

T:=supx=1T(x) \begin{equation} \| T \| := \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| \end{equation}

설명

(a) 를 보면 다음의 식이 성립하므로, T\| T \|TTRn\mathbb{R}^{n}의 원소를 Rm\mathbb{R}^{m}으로 매핑할 때 크기가 변하는 비율이라는 것을 알 수 있다. 그러니까 크기가 아무리 많이 바뀌어도 T\| T \|정도 라는 의미이다.

T(x)xT \dfrac{|T(\mathbf{x})|}{\| \mathbf{x} \|} \le \| T \|

또한 정의에 의해 T\| T \|는 다음을 만족하는 λ\lambda 중에서 가장 작은 값이라는 것을 알 수 있다.

T(x)λx,xRn \| T (\mathbf{x}) \| \le \lambda \| \mathbf{x} \| , \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}

T\| T \|가 놈의 정의를 만족하는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

  • T0\| T \| \ge 0
  • T=0    T=0\| T \| = 0 \iff T = 0
  • cT=cT\| c T \| = | c | \| T \|
  • T1+T2T1+T2\| T_{1} + T_{2} \| \le \| T_{1} \| + \| T_{2} \|

그러면 L(Rn,Rm)L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})거리를 다음과 같이 줄 수 있으므로, L(Rn,Rm)L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})거리공간이 된다.

d(T1,T2)=T1T2,T1,T2L(Rn,Rm) d(T_{1}, T_{2}) = \| T_{1} - T_{2} \|,\quad T_{1},T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})

정의 (1)(1)과 정리 (a) 는 필요충분조건이다.

T:=supx=1T(x)    T(x)Tx,xRn \| T \| := \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| \implies \| T(\mathbf{x}) \| \le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}

T:=min{K:T(x)Kx,xRn}    T=supx=1T(x) \| T \| := \min \left\{ K : \| T(\mathbf{x}) \| \le K \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \implies \| T \| = \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \|

정리

  • (a) TL(Rn,Rm)T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})이면 다음이 성립한다. T(x)Tx,xRn \| T(\mathbf{x}) \| \le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}

  • (b) TL(Rn,Rm)T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})이면, T<\| T \| < \infty이고 TT균등 연속이다.

  • (c) T1L(Rn,Rm)T_{1} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})이고, T2L(Rm,Rk)T_{2} \in L(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{k})이면 다음이 성립한다. T2T1T2T1 \|T_{2}\circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \|

증명

(a)

x0\mathbf{x} \ne \mathbf{0}이라고 하자. 그러면 TT가 선형변환이므로 다음의 성립한다.

T(x)x=1xT(x)=1xT(x)=T(xx) \begin{align*} \dfrac{ \| T(\mathbf{x}) \|}{\| \mathbf{x} \|} &= \dfrac{1}{\| \mathbf{x} \|}|T(\mathbf{x})| \\ &= \left\| \dfrac{1}{\| \mathbf{x} \|} T(\mathbf{x}) \right\| \\ &= \left\| T\left( \dfrac{\mathbf{x}}{\| \mathbf{x} \|} \right) \right\| \end{align*}

그러면 xx=1\left\| \dfrac{\mathbf{x}}{\| \mathbf{x} \|} \right\| = 1이므로 T\| T \|의 정의에 의해 다음이 성립한다.

T(x)xT    T(x)Tx,xRn \begin{align*} && \dfrac{ \| T(\mathbf{x}) \|}{\| \mathbf{x} \|} &\le \| T \| \\ \implies && \| T(\mathbf{x}) \| &\le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \end{align*}

(b)

{e1,,en}\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}Rn\mathbb{R}^{n}표준기저라고 하자. 그러면 x1\| \mathbf{x} \| \le 1xRn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}에 대해서 다음이 성립한다.

x=cieiandci1 \mathbf{x} = \sum c_{i}\mathbf{e}_{i} \quad \text{and} \quad | c_{i} | \le 1

그러면 TT는 선형변환이므로 다음이 성립한다.

T(x)=T(i=1nciei)=i=1nciT(ei)i=1nciT(ei)i=1nT(ei) \| T (\mathbf{x}) \| = \left\| T \left( \sum _{i=1}^{n} c_{i} \mathbf{e}_{i} \right) \right\| = \left\| \sum _{i=1}^{n} c_{i} T \left(\mathbf{e}_{i} \right) \right\| \le \sum _{i=1}^{n} | c_{i} | \| T (\mathbf{e}_{i}) \| \le \sum _{i=1}^{n} \| T (\mathbf{e}_{i}) \|

따라서 다음을 얻는다.

Ti=1nT(ei)< \| T \| \le \sum _{i=1}^{n} \| T (\mathbf{e}_{i}) \| < \infty

(a) 에 의해, x,yRn\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}에 대해서 다음이 성립한다.

T(x)T(y)Txy |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \|

ε>0\varepsilon > 0이 주어졌다고 하자. δ=εT\delta = \dfrac{\varepsilon}{\| T \|}라고 하자. 그러면 다음이 성립하므로 TT는 균등연속이다.

xy<δ    T(x)T(y)Txy=TεT=ε \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| < \delta \implies |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \| T \| \dfrac{\varepsilon}{\| T \|} = \varepsilon

(c)

(a) 에 의해 다음이 성립한다.

(T2T1)(x)=T2(T1(x))T2T1(x)T2T1x \| (T_{2}\circ T_{1}) (\mathbf{x}) \| = \| T_{2} (T_{1} (\mathbf{x})) \| \le \| T_{2} \| |T_{1} (\mathbf{x}) | \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| \| \mathbf{x} \|

따라서, T2T1\| T_{2} \circ T_{1} \|의 정의에 의해, 다음을 얻는다.

T2T1T2T1 \| T_{2} \circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \|T_{1}\|


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p208 ↩︎