선형변환의 놈
📂선형대수선형변환의 놈
정의
선형변환 T∈L(Rn,Rm)의 놈을 다음과 같이 정의한다.
∥T∥:=∥x∥=1sup∥T(x)∥
설명
(a) 를 보면 다음의 식이 성립하므로, ∥T∥는 T가 Rn의 원소를 Rm으로 매핑할 때 크기가 변하는 비율이라는 것을 알 수 있다. 그러니까 크기가 아무리 많이 바뀌어도 ∥T∥정도 라는 의미이다.
∥x∥∣T(x)∣≤∥T∥
또한 정의에 의해 ∥T∥는 다음을 만족하는 λ 중에서 가장 작은 값이라는 것을 알 수 있다.
∥T(x)∥≤λ∥x∥,∀x∈Rn
∥T∥가 놈의 정의를 만족하는 것은 쉽게 확인할 수 있다.
- ∥T∥≥0
- ∥T∥=0⟺T=0
- ∥cT∥=∣c∣∥T∥
- ∥T1+T2∥≤∥T1∥+∥T2∥
그러면 L(Rn,Rm)의 거리를 다음과 같이 줄 수 있으므로, L(Rn,Rm)는 거리공간이 된다.
d(T1,T2)=∥T1−T2∥,T1,T2∈L(Rn,Rm)
정의 (1)과 정리 (a) 는 필요충분조건이다.
∥T∥:=∥x∥=1sup∥T(x)∥⟹∥T(x)∥≤∥T∥∥x∥,∀x∈Rn
∥T∥:=min{K:∥T(x)∥≤K∥x∥,∀x∈Rn}⟹∥T∥=∥x∥=1sup∥T(x)∥
정리
(a) T∈L(Rn,Rm)이면 다음이 성립한다.
∥T(x)∥≤∥T∥∥x∥,∀x∈Rn
(b) T∈L(Rn,Rm)이면, ∥T∥<∞이고 T는 균등 연속이다.
(c) T1∈L(Rn,Rm)이고, T2∈L(Rm,Rk)이면 다음이 성립한다.
∥T2∘T1∥≤∥T2∥∥T1∥
증명
(a)
x=0이라고 하자. 그러면 T가 선형변환이므로 다음의 성립한다.
∥x∥∥T(x)∥=∥x∥1∣T(x)∣=∥x∥1T(x)=T(∥x∥x)
그러면 ∥x∥x=1이므로 ∥T∥의 정의에 의해 다음이 성립한다.
⟹∥x∥∥T(x)∥∥T(x)∥≤∥T∥≤∥T∥∥x∥,∀x∈Rn
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(b)
{e1,…,en}을 Rn의 표준기저라고 하자. 그러면 ∥x∥≤1인 x∈Rn에 대해서 다음이 성립한다.
x=∑cieiand∣ci∣≤1
그러면 T는 선형변환이므로 다음이 성립한다.
∥T(x)∥=T(i=1∑nciei)=i=1∑nciT(ei)≤i=1∑n∣ci∣∥T(ei)∥≤i=1∑n∥T(ei)∥
따라서 다음을 얻는다.
∥T∥≤i=1∑n∥T(ei)∥<∞
(a) 에 의해, x,y∈Rn에 대해서 다음이 성립한다.
∣T(x)−T(y)∣≤∥T∥∥x−y∥
ε>0이 주어졌다고 하자. δ=∥T∥ε라고 하자. 그러면 다음이 성립하므로 T는 균등연속이다.
∥x−y∥<δ⟹∣T(x)−T(y)∣≤∥T∥∥x−y∥=∥T∥∥T∥ε=ε
(c)
(a) 에 의해 다음이 성립한다.
∥(T2∘T1)(x)∥=∥T2(T1(x))∥≤∥T2∥∣T1(x)∣≤∥T2∥∥T1∥∥x∥
따라서, ∥T2∘T1∥의 정의에 의해, 다음을 얻는다.
∥T2∘T1∥≤∥T2∥∥T1∥