📂선형대수

선형변환의 놈

정의¹

선형변환 $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$의 놈을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{equation} \| T \| := \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| \end{equation} $$

설명

(a) 를 보면 다음의 식이 성립하므로, $\| T \|$는 $T$가 $\mathbb{R}^{n}$의 원소를 $\mathbb{R}^{m}$으로 매핑할 때 크기가 변하는 비율이라는 것을 알 수 있다. 그러니까 크기가 아무리 많이 바뀌어도 $\| T \|$정도 라는 의미이다.

$$ \dfrac{|T(\mathbf{x})|}{\| \mathbf{x} \|} \le \| T \| $$

또한 정의에 의해 $\| T \|$는 다음을 만족하는 $\lambda$ 중에서 가장 작은 값이라는 것을 알 수 있다.

$$ \| T (\mathbf{x}) \| \le \lambda \| \mathbf{x} \| , \quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

$\| T \|$가 놈의 정의를 만족하는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

• $\| T \| \ge 0$
• $\| T \| = 0 \iff T = 0$
• $\| c T \| = | c | \| T \|$
• $\| T_{1} + T_{2} \| \le \| T_{1} \| + \| T_{2} \|$

그러면 $L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$의 거리를 다음과 같이 줄 수 있으므로, $L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$는 거리공간이 된다.

$$ d(T_{1}, T_{2}) = \| T_{1} - T_{2} \|,\quad T_{1},T_{2} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m}) $$

정의 $(1)$과 정리 (a) 는 필요충분조건이다.

$$ \| T \| := \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| \implies \| T(\mathbf{x}) \| \le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

$$ \| T \| := \min \left\{ K : \| T(\mathbf{x}) \| \le K \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \implies \| T \| = \sup \limits_{\| \mathbf{x} \| = 1} \| T(\mathbf{x}) \| $$

정리

• (a) $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$이면 다음이 성립한다. $$ \| T(\mathbf{x}) \| \le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} $$

• (b) $T \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$이면, $\| T \| < \infty$이고 $T$는 균등 연속이다.

• (c) $T_{1} \in L(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}^{m})$이고, $T_{2} \in L(\mathbb{R}^{m}, \mathbb{R}^{k})$이면 다음이 성립한다. $$ \|T_{2}\circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| $$

증명

(a)

$\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$이라고 하자. 그러면 $T$가 선형변환이므로 다음의 성립한다.

$$ \begin{align*} \dfrac{ \| T(\mathbf{x}) \|}{\| \mathbf{x} \|} &= \dfrac{1}{\| \mathbf{x} \|}|T(\mathbf{x})| \\ &= \left\| \dfrac{1}{\| \mathbf{x} \|} T(\mathbf{x}) \right\| \\ &= \left\| T\left( \dfrac{\mathbf{x}}{\| \mathbf{x} \|} \right) \right\| \end{align*} $$

그러면 $\left\| \dfrac{\mathbf{x}}{\| \mathbf{x} \|} \right\| = 1$이므로 $\| T \|$의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} && \dfrac{ \| T(\mathbf{x}) \|}{\| \mathbf{x} \|} &\le \| T \| \\ \implies && \| T(\mathbf{x}) \| &\le \| T \| \| \mathbf{x} \|,\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \end{align*} $$

■

(b)

$\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$을 $\mathbb{R}^{n}$의 표준기저라고 하자. 그러면 $\| \mathbf{x} \| \le 1$인 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{x} = \sum c_{i}\mathbf{e}_{i} \quad \text{and} \quad | c_{i} | \le 1 $$

그러면 $T$는 선형변환이므로 다음이 성립한다.

$$ \| T (\mathbf{x}) \| = \left\| T \left( \sum _{i=1}^{n} c_{i} \mathbf{e}_{i} \right) \right\| = \left\| \sum _{i=1}^{n} c_{i} T \left(\mathbf{e}_{i} \right) \right\| \le \sum _{i=1}^{n} | c_{i} | \| T (\mathbf{e}_{i}) \| \le \sum _{i=1}^{n} \| T (\mathbf{e}_{i}) \| $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \| T \| \le \sum _{i=1}^{n} \| T (\mathbf{e}_{i}) \| < \infty $$

(a) 에 의해, $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| $$

$\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자. $\delta = \dfrac{\varepsilon}{\| T \|}$라고 하자. 그러면 다음이 성립하므로 $T$는 균등연속이다.

$$ \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| < \delta \implies |T(\mathbf{x}) - T(\mathbf{y})| \le \| T \| \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| = \| T \| \dfrac{\varepsilon}{\| T \|} = \varepsilon $$

(c)

(a) 에 의해 다음이 성립한다.

$$ \| (T_{2}\circ T_{1}) (\mathbf{x}) \| = \| T_{2} (T_{1} (\mathbf{x})) \| \le \| T_{2} \| |T_{1} (\mathbf{x}) | \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| \| \mathbf{x} \| $$

따라서, $\| T_{2} \circ T_{1} \|$의 정의에 의해, 다음을 얻는다.

$$ \| T_{2} \circ T_{1} \| \le \| T_{2} \| \|T_{1}\| $$