📂선형대수

정의역의 기저는 선형변환의 상을 생성한다

정리¹

선형변환 $T : V \to W$가 주어졌다고 하자. $V$가 유한차원이고, $S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$를 $V$의 기저라고 하자. 그러면 임의의 $\mathbf{v} \in V$의 상은 다음과 같이 표현된다.

$$T(\mathbf{v}) = c_{1}T(\mathbf{v}_{1}) + c_{2}T(\mathbf{v}_{2}) + \cdots c_{n}T(\mathbf{v}_{n})$$

이때 $c_{i}$는 $\mathbf{v} = \sum c_{i}\mathbf{v}_{i}$를 만족하는 계수이다. 다시말해 $\left\{ T(\mathbf{v}_{i}) \right\}$는 $T$의 치역을 생성한다.

$$R(T) = \span( T(S) ) = \span \left( \left\{ T(\mathbf{v}_{1}), T(\mathbf{v}_{2}), \dots, T(\mathbf{v}_{n}) \right\} \right)$$

설명

선형변환 $T$에 대해서 기저들이 어떻게 변하는지만 알면 모든 $\mathbf{v} \in V$의 상을 알 수 있다는 의미이다.

증명

기저 표현의 유일성에 의하여 모든 $\mathbf{v} \in V$에 대해서 다음의 선형결합이 유일하게 존재한다.

$$\mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}$$

그러면 $T$의 선형성에 의해서 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} T ( \mathbf{v} ) &= T( c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots c_{n}\mathbf{v}_{n} ) \\ &= T( c_{1}\mathbf{v}_{1} ) + T( c_{2}\mathbf{v}_{2} ) + \cdots + T( c_{n}\mathbf{v}_{n} ) \\ &= c_{1}T(\mathbf{v}_{1} ) + c_{2}T( \mathbf{v}_{2} ) + \cdots + c_{n}T( \mathbf{v}_{n} ) \end{align*}$$

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