📂열물리학

기체의 선속

공식

기체의 선속^flux는 다음과 같다.

$$ \Phi = \dfrac{1}{4} \dfrac{p}{k_{B}T} \sqrt{\dfrac{8 k_{B} T}{\pi m }} = \dfrac{p}{\sqrt{2 \pi m k_{B} T}} $$

이때 $p$는 압력, $k_{B}$는 볼츠만 상수, $T$는 온도, $m$은 기체의 질량이다.

설명¹

선속이란?

물리학에서 선속^flux이란 단위시간당 단위면적을 지나가는(충돌하는) 입자의 수(혹은 에너지, 운동량 등의 물리량)를 의미한다. 선속은 주로 대문자 파이(피) $\Phi$로 표기한다.

$$ \Phi = \dfrac{\text{physical quantity}}{\text{area} \times \text{time}} $$

기체의 선속이란 단위시간당 단위면적을 지나가는 기체 분자의 수를 의미하고, 열 선속이란 단위시간당 단위면적을 지나가는 열 에너지를 의미한다.

$\theta$의 각도로 단위시간당 단위면적을 때리는(지나가는) 속력이 $v$인 기체 분자의 수는 이상기체 방정식을 유도하는 과정에서 다음과 같이 주어진다.

$$ \left( n f(v) \right) \left( \dfrac{1}{2} \sin\theta\right) \left( v \cos \theta \right) $$

따라서 이를 $r \in [0,\infty)$, $\theta=[0,\pi / 2]$에 대해서 적분하면 단위시간당 단위면적을 때리는 분자의 수가 된다.

$$ \begin{align*} \Phi &= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi/2} \left( n f(v) \right) \left( \dfrac{1}{2} \sin\theta\right) \left( v \cos \theta \right) dv d\theta \\ &= \dfrac{n}{2} \int_{0}^{\infty} f(v) v dv \int_{0}^{\pi/2} \sin \theta \cos \theta d\theta \end{align*} $$

앞의 $v$에 대한 적분은 속력의 기댓값이다.

$$ \int_{0}^{\infty} f(v) v dv = \left\langle v \right\rangle $$

$\theta$에 대한 적분값은 $\dfrac{1}{2}$이므로 기체의 선속은 다음과 같이 단위 시간동안 단위 면적에 부딪히는 분자의 수로 표현된다.

$$ \Phi = \dfrac{1}{4}n\left\langle v \right\rangle $$

이 값을 실제로 계산해보자. 속력의 기댓값은 다음과 같다.

$$ \left\langle v \right\rangle = \sqrt{\dfrac{8 k_{B} T}{\pi m }} $$

또한 이상기체 방정식에 의해 $p = n k_{B}T$이므로,

$$ \Phi = \dfrac{1}{4} \dfrac{p}{k_{B}T} \sqrt{\dfrac{8 k_{B} T}{\pi m }} = \dfrac{p}{\sqrt{2 \pi m k_{B} T}} $$

위 식으로부터 기체의 선속은 질량의 제곱근의 역수에 비례한다는 것을 알 수 있다. 이는 그레이엄이 실험적으로 밝혀낸 그레이엄의 분출 법칙^{Graham’s law of effusion}과 같은 결과이다.