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에르미트 연산자의 기댓값고유값은 항상 실수임을 증명 📂양자역학

에르미트 연산자의 기댓값고유값은 항상 실수임을 증명

정리

에르미트 연산자기댓값은 항상 실수이다.

증명

$A$를 에르미트 연산자라고 하자. $A$의 기댓값은

$$ \braket{A \rangle = \int \psi^{\ast}A\psi dx = \langle \psi | A\psi} $$

실수임을 보이려먼 $\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=0$임을 보이면 된다.

$$\begin{align*} \braket{\psi | A\psi}^{\ast} &= \braket{A\psi | \psi} \\ &= \int (A\psi)^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast}A^{\ast}\psi dx \\ &= \int \psi^{\ast} A \psi dx \\ &= \braket{\psi | A \psi} \end{align*}$$

따라서

$$ \braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}^{\ast}=\braket{\psi | A\psi}-\braket{\psi | A\psi}=0 $$

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