📂선형대수

직교성과 선형독립의 관계

정의¹

내적공간 $V$의 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0$을 만족하면 서로 직교^orthogonal한다고 한다.

$V$의 원소들로 이루어진 집합에서 각각의 원소들이 다른 모든 원소와 서로 직교하면 그 집합을 직교집합^{orthogonal set}이라 한다.

직교집합의 모든 원소의 놈이 $1$이면 정규직교집합^{orthonormal set}이라 한다.

정리

내적공간 $V$의 부분집합 $S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$가 영벡터를 포함하지 않는 직교집합이면 $S$는 선형독립이다.

증명

$S$가 선형독립임을 보이려면 아래의 식

$$ k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n} \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} $$

의 해가 오직 $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=0$ 뿐임을 보이면 된다. 위 식에 각각의 벡터 $\mathbf{v}_{i}$들을 내적해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \\ 0 &= \langle \mathbf{0}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= \langle k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n} \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= k_{1} \langle \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{i} \rangle + k_{2} \langle \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i} \rangle + \cdots k_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle +\cdots + k_{n} \langle \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= k_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle \end{align*} $$

그런데 $S$는 영벡터를 포함하지 않는 직교집합이므로 $\langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle>0$이다. 따라서

$$ k_{i} = 0,\quad \forall 1\le i \le n $$

■