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직교기저들에 상대적인 좌표 📂선형대수

직교기저들에 상대적인 좌표

정의1

내적공간 VV의 기저 SS가 직교집합이면 SS를 직교기저orthogonal basis라 한다. SS가 정규직교집합이면 정규직교기저orthonormal basis라 한다.

정리

S={v1,v2,…,vn}S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}가 내적공간 VV의 직교기저이고, u∈V\mathbf{u} \in V라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

u=⟨u,v1⟩∥v1∥2v1+⟨u,v2⟩∥v2∥2v2+⋯+⟨u,vn⟩∥vn∥2vn=∑i=1n⟨u,vi⟩∥vi∥2vi \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u} &= \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle}{\| \mathbf{v}_{1} \|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle}{\| \mathbf{v}_{2} \|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle}{\| \mathbf{v}_{n} \|^{2}} \mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle}{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}} \mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{thm1} \end{equation}

SS가 정규직교기저이면 다음의 식이 성립한다.

u=⟨u,v1⟩v1+⟨u,v2⟩v2+⋯+⟨u,vn⟩vn=∑i=1n⟨u,vi⟩vi \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u} &= \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle\mathbf{v}_{1} + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle\mathbf{v}_{2} + \cdots + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle\mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle \mathbf{v}_{i} \end{aligned} \label{thm2} \end{equation}

설명

위의 정리로부터 다음의 벡터를 u∈V\mathbf{u} \in V의 기저 SS에 대한 좌표라 한다.

(u)S=(⟨u,v1⟩,⟨u,v2⟩,…,⟨u,vn⟩) (\mathbf{u})_{S} = \left( \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle, \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle, \dots, \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle \right)

증명

SS가 VV의 기저이므로 u∈V\mathbf{u} \in V는 다음과 같은 유일한 선형결합 표현이 존재한다.

u=c1v1+c2v2+⋯+cnvn \begin{equation} \mathbf{u} = c_{1} \mathbf{v}_{1} + c_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} \label{eq1} \end{equation}

u\mathbf{u}와 각각의 vi\mathbf{v}_{i}의 내적을 구해보면 다음과 같다.

⟨u,vi⟩=⟨c1v1+c2v2+⋯+cnvn,vi⟩=c1⟨v1,vi⟩+c2⟨v2,vi⟩+⋯ci⟨vi,vi⟩+⋯+cn⟨vn,vi⟩=ci⟨vi,vi⟩=ci∥vi∥2 \begin{align*} \\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle &= \langle c_{1} \mathbf{v}_{1} + c_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n} \mathbf{v}_{n} , \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{1} \langle \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{i} \rangle + c_{2} \langle \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i} \rangle + \cdots c_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle +\cdots + c_{n} \langle \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{i} \langle \mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \rangle \\ &= c_{i} \| \mathbf{v}_{i} \|^{2} \end{align*}

  ⟹  ci=⟨u,vi⟩∥vi∥2 \\ \implies c_{i} = \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle }{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}}

위 식을 만족하는 cic_{i}들은 유일하므로, 이를 (eq1)\eqref{eq1}에 대입하면 다음과 같다.

u=⟨u,v1⟩∥v1∥2v1+⟨u,v2⟩∥v2∥2v2+⋯+⟨u,vn⟩∥vn∥2vn=∑i=1n⟨u,vi⟩∥vi∥2vi \begin{align*} \mathbf{u} &= \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \rangle}{\| \mathbf{v}_{1} \|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \rangle}{\| \mathbf{v}_{2} \|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \rangle}{\| \mathbf{v}_{n} \|^{2}} \mathbf{v}_{n} \\ &= \sum \limits _{i=1}^{n} \dfrac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \rangle}{\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}} \mathbf{v}_{i} \end{align*}

SS가 정규직교집합이면 ∥vi∥2=1\| \mathbf{v}_{i} \|^{2}=1이므로 (thm2)\eqref{thm2}가 성립한다.

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  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p364 ↩︎