📂다변수벡터해석

편 도함수

정의¹

$E\subset \mathbb{R}^{n}$를 열린집합, $\mathbf{x}\in E$, 그리고 $\mathbf{f} : E \to \mathbb{R}^{m}$라고 하자. $\left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$, $\left\{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \dots, \mathbf{u}_{m} \right\}$을 각각 $\mathbb{R}^{n}$, $\mathbb{R}^{m}$의 표준기저라고 하자.

그러면 $\mathbf{f}$의 성분^components $f_{i} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$은 다음과 같이 정의된다.

$$\mathbf{f} (\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{m} f_{i}(\mathbf{x})\mathbf{u}_{i}, \quad \mathbf{x} \in E$$

혹은

$$f_{i} (\mathbf{x}) := \mathbf{f} (\mathbf{x}) \cdot \mathbf{u}_{i},\quad i \in \left\{ 1,\dots, m \right\}$$

다음의 극한이 존재하면, $x_{j}$에 대한 $f_{i}$의 편 도함수^{partial derivative}라 하고 $D_{j}f_{i}$ 혹은 $\dfrac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}$라고 표기한다.

$$\dfrac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} = D_{j}f_{i} := \lim _{t \to 0} \dfrac{f_{i}(\mathbf{x}+ t \mathbf{e}_{j}) -f_{i}(\mathbf{x})}{t}$$

설명

편^偏은 치우쳐졌다는 의미이며, 미분을 모든 변수가 아니라 하나의 변수에 대해서만 생각하겠다는 뜻이다. 전 도함수에 대비되는 말이다.

편도 $\check{}$ 함수가 아니라 편 $\check{}$ 도함수이다.

$\mathbf{f}$의 전 도함수와 편 도함수 사이에는 다음의 정리와 같은 관계가 성립한다.

정리

$E, \mathbf{x}, \mathbf{f}$를 정의에서와 같다고 하자. $\mathbf{f}$가 $\mathbf{x}$에서 미분가능하다고 하자. 그러면 각각의 편 도함수 $D_{j}f_{i}(\mathbf{x})$가 존재하고, 다음의 식이 성립한다.

$$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j} = \sum_{i=1}^{m} D_{j}f_{i}(\mathbf{x})\mathbf{u}_{i},\quad j \in \left\{ 1,\dots, n \right\}$$

따름 정리

$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})$는 다음과 같은 행렬로 표현되는 선형변환이다.

$$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} (D_{1}f_{1}) (\mathbf{x}) & (D_{2}f_{1}) (\mathbf{x}) & \cdots & (D_{n}f_{1}) (\mathbf{x}) \\ (D_{1}f_{2}) (\mathbf{x}) & (D_{2}f_{2}) (\mathbf{x}) & \cdots & (D_{n}f_{2}) (\mathbf{x}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (D_{1}f_{m}) (\mathbf{x}) & (D_{2}f_{m}) (\mathbf{x}) & \cdots & (D_{n}f_{m}) (\mathbf{x}) \end{bmatrix}$$

이를 $\mathbf{f}$의 자코비안^{Jacobian matrix, 야코비 행렬}이라고도 한다.

증명

$j$를 고정하자. $\mathbf{f}$가 $\mathbf{x}$에서 미분가능하다고 가정했으므로 다음의 식이 성립한다.

$$\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})(t\mathbf{e}_{j}) + \mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})$$

이때 $\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})$은 다음을 만족하는 나머지이다.

$$\lim _{t \to 0} \dfrac{|\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j}) |}{t}=0$$

$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})$는 선형변환이므로 다음이 성립한다.

$$\dfrac{\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})}{t} = \dfrac{\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})(t\mathbf{e}_{j})}{t} + \dfrac{\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})}{t} = \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})(\mathbf{e}_{j}) + \dfrac{\mathbf{r}(t\mathbf{e}_{j})}{t}$$

양변에 $\lim _{t \to 0}$인 극한을 취하면 다음과 같다.

$$\lim _{t \to 0} \dfrac{\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})}{t} = \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j}$$

$\mathbf{f}$를 성분으로 표현하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j} &= \lim _{t \to 0} \dfrac{\mathbf{f}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - \mathbf{f}(\mathbf{x})}{t} \\ &= \lim _{t \to 0} \dfrac{\sum_{i=1}^{m} f_{i}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j})\mathbf{u}_{i} - \sum_{i=1}^{m} f_{i}(\mathbf{x})\mathbf{u}_{i}}{t} \\ &= \sum_{i=1}^{m} \lim _{t \to 0} \dfrac{f_{i}( \mathbf{x} + t \mathbf{e}_{j}) - f_{i}(\mathbf{x})}{t} \mathbf{u}_{i} \end{align*}$$

그러면 편 도함수의 정의에 의해 다음을 얻는다.

$$\mathbf{f}^{\prime}(\mathbf{x})\mathbf{e}_{j} = \sum_{i=1}^{m} D_{j}f_{i}(\mathbf{x}) \mathbf{u}_{i}$$

■

예시

$f : \R^{3} \to \R, \gamma : \R \to \R^{3}$가 미분가능한 함수라고 하자. 또한

$$\gamma (t) = \left( x(t), y(t), z(t) \right)$$

그리고 $f$와 $\gamma$의 합성을 $g = f \circ \gamma$라고 하자.

$$g(t) = f \circ \gamma (t) = f \left( \gamma (t) \right)$$

그러면 $g^{\prime}$은 연쇄법칙, 편미분의 정의, 위에서 소개한 정리에 의해 다음과 같다.

$$\begin{align*} \dfrac{d g}{d t}(t_{0}) = g^{\prime}(t_{0}) =&\ f^{\prime}(\gamma (t_{0})) \gamma^{\prime}(t_{0}) \\ =&\ \begin{bmatrix} D_{1}f(\gamma (t_{0})) & D_{2}f(\gamma (t_{0})) & D_{3}f(\gamma (t_{0})) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} D\gamma_{1} (t_{0}) \\ D\gamma_{2} (t_{0}) \\ D\gamma_{3} (t_{0}) \end{bmatrix} \\ =&\ \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\gamma (t_{0})) & \dfrac{\partial f}{\partial y}(\gamma (t_{0})) & \dfrac{\partial f}{\partial z}(\gamma (t_{0})) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{d x}{d t}(t_{0}) \\ \dfrac{d y}{d t}(t_{0}) \\ \dfrac{d z}{d t}(t_{0}) \end{bmatrix} \\ =&\ \dfrac{\partial f}{\partial x}(\gamma (t_{0}))\dfrac{d x}{d t}(t_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(\gamma (t_{0}))\dfrac{d y}{d t}(t_{0}) + \dfrac{\partial f}{\partial z}(\gamma (t_{0}))\dfrac{d z}{d t}(t_{0}) \end{align*}$$

따라서

$$\implies \dfrac{d g}{d t} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{d x}{d t} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{d y}{d t} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{d z}{d t}$$