📂기하학

가우스 곡률에 따른 회전면의 분류

개요¹

회전면은 가우스 곡률의 부호에 따라서 세 종류로 분류된다. 각 분류 내에서 동일한 곡률을 갖는 곡면들은 전역적인^global, 외재적인 특성이 다르다 할지라도, 같은 국소적인^local 내재적 특징을 갖는다. 다시말해 (전역적으로는 아니라 할 지라도) 국소적으로는 등거리이다.

설명

$r> 0$에 대해서, $\boldsymbol{\alpha}(s) = \left( r(s), z(s) \right)$를 단위 속력 곡선이라고 하자. 그리고 $\boldsymbol{\alpha}$로부터 얻어지는 회전면을 $M$이라 하자.

$$ M = \left\{ \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) : 0 \le \theta \le 2\pi, s \in (s_{0}, s_{1}) \right\} $$

$M$의 좌표조각사상 $\mathbf{x}$는 다음과 같다.

$$ \mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) $$

$\boldsymbol{\alpha}$가 단위속력곡선이므로, $\boldsymbol{\alpha}^{\prime} = (r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1$이다. 따라서 $z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}$이다. 다른 기본적인 성질들은 다음과 같다.

• 제1 기본형식:

$$ \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{bmatrix} $$

• 제2 기본형식:

$$ \begin{bmatrix} L_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime} & 0 \\ 0 & rz^{\prime} \end{bmatrix} $$

• 가우스 곡률:

$\boldsymbol{\alpha}$가 단위속력곡선이므로 다음의 조건을 얻는다.

$$ (r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2} = 1 \implies 2r^{\prime}r^{\prime \prime} + 2z^{\prime}z^{\prime \prime} = 0 \implies z^{\prime}z^{\prime \prime} = - r^{\prime}r^{\prime \prime} $$

따라서 가우스 곡률은,

$$ \begin{align*} K = \dfrac{(r^{\prime}z^{\prime \prime} - z^{\prime}r^{\prime \prime})}{((r^{\prime})^{2} + (z^{\prime})^{2})^{2}} \dfrac{z^{\prime}}{r} &= \dfrac{r^{\prime}z^{\prime}z^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(z^{\prime})^{2}}{r} \\ &= \dfrac{-(r^{\prime})^{2}r^{\prime \prime} - r^{\prime \prime}(1-(r^{\prime})^{2})}{r} \\ &= \dfrac{-r^{\prime \prime}}{r} \\ \end{align*} $$

회전면은 가우스 곡률의 부호에 따라서 분류된다. $a > 0$에 대해서,

• $K= a^{2}$ 인 경우
• $K= 0$ 인 경우
• $K= -a^{2}$ 인 경우