디랙 표기법이란?
정의
양자역학에서 파동함수는 벡터이며, 기본적으로 열 벡터로 취급된다. 열 벡터는 오른쪽 홑화살괄호로 표기하며 이를 켓 벡터ket vector라 한다.
$$ \psi = \ket{\psi} = \begin{pmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \\ \vdots \\ \psi_{n} \end{pmatrix} $$
$\ket{\psi}$의 켤레전치행렬을 왼쪽 홑화살괄호로 표기하며 이를 브라 벡터bra vector라 한다.
$$ \psi^{\ast} = \ket{\psi}^{\ast} = \bra{\psi} = \begin{pmatrix} \psi_{1}^{\ast} & \psi_{2}^{\ast} & \cdots & \psi_{n}^{\ast} \end{pmatrix} $$
$^{\ast}$는 켤레 전치를 의미한다.
설명
켤레 전치
물리학에서 보통 $^{\ast}$는 복소켤레라고 설명되지만, 수학에서 $^{\ast}$는 복소켤레와 전치행렬의 의미를 모두 갖고 있다. 하지만 위의 정의를 보면 실제로 물리학에서도 전치transpose의 의미를 가지는 표기라는 것을 알 수 있다. 즉, 물리학에서는 표기법을 중복으로 사용하여 $\ast$가 스칼라에 붙어있을 때는 복소켤레를 의미하고, 벡터나 행렬에 붙어있을 때는 켤레 전치를 의미한다. $^{\ast}$를 단순히 복소켤레의 의미로만 생각하면 $\psi$가 열벡터일 때 $\psi^{\ast}$는 왜 행벡터인지 알 수 없으니 주의하자.
이름의 유래
이름의 유래는 괄호를 의미하는 영단어 브라켓bracket이다. 괄호를 반틈씩 쓰니 단어도 반틈씩 나눠서 이름으로 가져다가 붙인것이다. 쉽게 우리말로 비유하자면 괄-벡터(bra-vector)와 호-벡터(ket-vector)라고 할 수 있겠다.
내적과의 연관성
양자역학에서 연산자와 파동함수(고유함수)를 편리하게 연산하기 위해서 사용하는 하나의 표기법이다. 홑화살괄호를 쓰는 이유는 내적과 관련이 있기 때문이다. 수학에서 일반화된 내적의 표기로 $\braket{\quad}$를 쓴다. 따라서 행 벡터와 열 벡터를 위와 같이 표기하면 두 벡터의 곱은 그 자체로 내적이 되기 때문에 의미가 잘 들어맞는다.
$$ \braket{ \psi \vert \phi } = \begin{pmatrix} \psi_{1}^{\ast} & \psi_{2}^{\ast} & \cdots & \psi_{n}^{\ast} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \vdots \\ \phi_{n} \end{pmatrix} = \psi_{1}^{\ast}\phi_{1} + \psi_{2}^{\ast}\phi_{2} + \cdots + \psi_{n}^{\ast}\phi_{n} $$
임의의 연산자 $Q$의 기댓값은 다음과 같다.
$$ \braket{Q}= \int \psi^{\ast} Q \psi dx $$
이는 $\psi$와 $Q\psi$의 내적으로 볼 수 있고, 따라서 다음과 같이 표기할 수 있다.
$$ \braket{\psi \vert Q\psi} $$
혹은 $Q^{\ast}\psi$와 $\psi$의 내적으로 생각할 수도 있다.
$$ \int \psi^{\ast} Q \psi dx = \int (Q^{\ast}\psi)^{\ast} \psi dx = \braket{Q^{\ast}\psi \vert \psi} $$
아래의 표기법들은 모두 같은 식을 의미한다.
$$ \braket{Q} = \braket{\psi \vert Q \vert \psi} = \braket{\psi \vert Q \psi} = \braket{Q^{\ast}\psi \vert \psi} = \int \psi^{\ast} Q \psi dx $$