📂선형대수

기저의 더하기/빼기 정리

정리¹

$S$를 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자.

(a) 만약 $S$가 선형독립이고 $\mathbf{v} \in V$가 $\mathbf{v} \notin \text{span}(S)$이면, $S \cup \left\{ \mathbf{v} \right\}$는 여전히 선형독립니다.

(b) 만약 $\mathbf{v} \in S$가 $S$의 다른 벡터들의 선형결합으로 나타나면, $S$와 $S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\}$는 같은 공간을 생성한다. 즉 다음이 성립한다.

$$ \text{span}(S) = \text{span} \left( S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\} \right) $$

증명

(a)

$S=\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} \subset V$가 선형독립이고, $\mathbf{v} \notin \text{span}(S)$라고 가정하자. 그러면 다음의 식

$$ \begin{equation} k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{v}_{r} + k \mathbf{v} = \mathbf{0} \label{eq1} \end{equation} $$

를 만족하는 해가 $k_{1}=k_{2}=k_{r}=k=0$ 밖에 없음을 보이면 $S \cup \left\{ \mathbf{v} \right\}$가 선형독립임을 보이게 된다.

그런데 여기서 만약 $k \ne 0$이면 $k \mathbf{v} = -\sum \limits_{i=1}^{r} k_{i} \mathbf{v}_{i} \in \text{span} (S)$가 성립한다. 따라서 $k=0$이어야 하므로 다음의 식을 얻는다.

$$ k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r} \mathbf{v}_{r} = \mathbf{0} $$

$S$가 선형독립이라는 가정에 의해 위 식을 만족하는 해는 $k_{1}=k_{2}=k_{r}=0$ 뿐이다. 따라서 $(1)$의 해는 오직 $k_{1}=k_{2}=k_{r}=k=0$ 뿐이므로 $S \cup \left\{ \mathbf{v} \right\}$는 선형독립이다.

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(b)

$S=\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} \subset V$이고 $\mathbf{v}_{r}$이 다음과 같이 다른 벡터들의 선형결합으로 나타난다고 가정하자.

$$ \begin{equation} \mathbf{v}_{r} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r-1}\mathbf{v}_{r-1} \label{eq2} \end{equation} $$

이제 $\mathbf{w} \in \text{span} (S)$라고 하자. 그러면 생성의 정의에 의해 $\mathbf{w}$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \mathbf{w} = k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r-1} \mathbf{v}_{r-1} + k_{r} \mathbf{v}_{r} $$

$(2)$를 위 식에 대입하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{w} &= k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r-1} \mathbf{v}_{r-1} + k_{r} \mathbf{v}_{r} \\ &= k_{1} \mathbf{v}_{1} + k_{2} \mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r-1} \mathbf{v}_{r-1} + k_{r} \left( c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots +c_{r-1}\mathbf{v}_{r-1}\right) \\ &= \left( k_{1} + k_{r}c_{1} \right)\mathbf{v}_{1} + \left( k_{2} + k_{r}c_{2} \right) \mathbf{v}_{2} + \cdots + \left( k_{r-1} + k_{r}c_{r-1} \right) \mathbf{v}_{r-1} \end{align*} $$

따라서 $\mathbf{w} \in \text{span} (S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\})$가 성립한다. 반대의 경우도 같은 논리로 성립하므로 두 집합은 서로 같다.

$$ \text{span}(S) = \text{span} \left( S \setminus \left\{ \mathbf{v} \right\} \right) $$

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