📂행렬대수

기본행렬

정의¹

두 행렬 $A$와 $B$가 기본 행 연산을 통해서 서로를 얻을 수 있으면 두 행렬을 행동등^{row equivalent}이라고 한다.

단위행렬에 기본 행 연산을 한 번만 수행하여 얻을 수 있는 행렬을 기본행렬^{elementary matrix}이라고 한다. 기본행렬은 주로 $E$라고 표기한다.

성질

• 단위행렬 $I_{m}$에 어떤 기본 행 연산을 통해 얻을 기본행렬을 $E$라고 하자. 그리고 $A$를 $m \times n$ 행렬이라고 하자. 그러면 행렬곱 $EA$는 $A$에 같은 기본 행 연산을 한 것과 같다.

• 기본행렬은 가역이다.

정리: 가역행렬일 동치조건

$A$를 크기가 $n\times n$인 정사각행렬이라고 하자. 그러면 아래의 명제는 모두 동치이다.

(a) $A$는 가역행렬이다.

(b) 동차 선형 시스템 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$는 오직 자명해만을 갖는다.

(c) $A$의 기약 행사다리꼴 이 $I_{n}$이다.

(d) $A$는 기본행렬의 곱으로 표현가능하다.

증명

(a) $\implies$ (b)

$A$가 가역이라고 가정하자. 그리고 $\mathbf{x}_{0}$을 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 임의의 해라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$A \mathbf{x}_{0} = \mathbf{0}$$

위 식의 양변에 $A^{-1}$을 곱하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && \left( A^{-1} A \right)\mathbf{x}_{0} &= A^{-1} \mathbf{0} \\ \implies && \mathbf{x}_{0} &= \mathbf{0} \end{align*}$$

따라서 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 오직 자명해만을 가진다.

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(b) $\implies$ (c)

동차 시스템 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$가 자명해만을 가진다고 가정하자. 그러면 이 동차 시스템을 풀면 다음과 같아야한다.

$$\begin{alignat*}{} x_{1} & & & &=0 \\ & x_{2} & & &=0 \\ & & \ddots & &=0 \\ & & & x_{n} &=0 \end{alignat*}$$

이를 첨가행렬로 나타내면 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

따라서 $A$의 기약 행사다리꼴은 $I_{n}$이다.

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(c) $\implies$ (d)

$A$의 기약 행사다리꼴이 $I_{n}$이라고 가정하자. 그러면 기본행렬의 성질에 의해 다음의 식이 성립하는 기본행렬 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{k}$가 존재한다.

$$E_{k} \dots E_{2} E_{1} A = I_{n}$$

그러면 역행렬의 성질에 의해 다음이 성립한다.

$$A = E_{k}^{-1} \dots E_{2}^{-1} E_{1}^{-1} I_{n} = E_{k}^{-1} \dots E_{2}^{-1} E_{1}^{-1}$$

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(d) $\implies$ (a)

$A$가 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다고 가정하자. 기본행렬은 가역행렬이고 가역행렬들의 곱도 가역행렬이므로 $A$는 가역행렬이다.

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