벡터공간의 기저
📂선형대수 벡터공간의 기저 정의 S = { v 1 , v 2 , … , v r } S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\} S = { v 1 , v 2 , … , v r } 벡터공간 V V V S S S S S S V V V 기저 basis 라 한다.
설명 기저는 그 이름에서 짐작할 수 있듯 '벡터공간을 만들어낼 수 있는 가장 작은 것'의 개념에 해당한다. 생성이라는 조건이 '벡터공간을 만드는'의 의미를 갖고, 선형독립이라는 조건이 '가장 작은'의 의미를 갖는다. 벡터공간을 만든다는 것은 그렇다쳐도 가장 작아야할 필요에 대해서 바로 이해되지 않을 수 있다. 하지만 쉬운 예 하나만 살펴봐도 바로 이해가 될 것이다. 가령 우리는 ( 2 , 3 ) (2,3) ( 2 , 3 )
( 2 , 3 ) = 1 ( 1 , 0 ) + 2 ( 0 , 1 ) + 1 ( 1 , 1 )
(2,3)=1(1,0) + 2(0,1) + 1(1,1)
( 2 , 3 ) = 1 ( 1 , 0 ) + 2 ( 0 , 1 ) + 1 ( 1 , 1 )
과 같이 나타내지 않는다. ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) (1,0), (0,1) ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 )
여기서 주의해야할 것은 한 벡터공간에 대해서 기저가 딱히 유일하게 존재할 필요는 없다는 것이다. 예를 들어 { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } \left\{ (1,0) , (0,1) \right\} { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) } R 2 \mathbb{R}^{2} R 2 { ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ) } \left\{ (2,0) , (0,2) \right\} { ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ) } R 2 \mathbb{R}^2 R 2 { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , 1 ) } \left\{ (1,1) , (-1,1) \right\} { ( 1 , 1 ) , ( − 1 , 1 ) } R 2 \mathbb{R}^2 R 2 R n \mathbb{R}^{n} R n
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 )
\mathbf{e}_{1} = (1,0,0,\dots,0), \quad \mathbf{e}_{2}=(0,1,0,\dots,0),\quad \mathbf{e}_{n}=(0,0,0,\dots,1)
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 )
이러한 기저를 { e 1 , e 2 , … , e n } \left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\} { e 1 , e 2 , … , e n } R n \mathbb{R}^{n} R n 표준기저 standard basis for R n \mathbb{R}^{n} R n 라 한다. 각각의 e i \mathbf{e}_{i} e i 표준단위벡터 standard unit vector 라 불린다. 특별히 n = 3 n=3 n = 3
x ^ = e 1 = x ^ 1 = i = ( 1 , 0 , 0 ) y ^ = e 2 = x ^ 2 = j = ( 0 , 1 , 0 ) z ^ = e 3 = x ^ 3 = k = ( 0 , 0 , 1 )
\begin{align*}
\hat{\mathbf{x}} =&\ \mathbf{e}_{1} = \hat{\mathbf{x}}_{1} = \mathbf{i}=(1,0,0)
\\ \hat{\mathbf{y}} =&\ \mathbf{e}_{2} = \hat{\mathbf{x}}_{2} = \mathbf{j}=(0,1,0)
\\ \hat{\mathbf{z}} =&\ \mathbf{e}_{3} = \hat{\mathbf{x}}_{3} = \mathbf{k}=(0,0,1)
\end{align*}
x ^ = y ^ = z ^ = e 1 = x ^ 1 = i = ( 1 , 0 , 0 ) e 2 = x ^ 2 = j = ( 0 , 1 , 0 ) e 3 = x ^ 3 = k = ( 0 , 0 , 1 )
아래의 정리로부터 좌표 의 개념을 추상화된 벡터공간에서도 얘기할 수 있다. v ∈ V \mathbf{v} \in V v ∈ V ( 1 ) (1) ( 1 ) [ v ] S [\mathbf{v}]_{S} [ v ] S S S S v \mathbf{v} v 좌표벡터 coordinate vector x \mathbf{x} x S S S 라고 한다.
[ v ] S = [ c 1 c 2 ⋮ c n ]
[\mathbf{v}]_{S} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix}
[ v ] S = c 1 c 2 ⋮ c n
정리: 기저 표현의 유일성 S = { v 1 , v 2 , … , v n } S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\} S = { v 1 , v 2 , … , v n } V V V v ∈ V \mathbf{v} \in V v ∈ V
v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n
\begin{equation}
\mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}
\end{equation}
v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n
과 같이 표현하는 방법은 유일하다. 다시말해 위 식을 만족하는 계수들의 순서쌍 ( c 1 , c 2 , … , c n ) (c_{1},c_{2},\dots,c_{n}) ( c 1 , c 2 , … , c n )
증명 S S S V V V V V V S S S v \mathbf{v} v
v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n v = k 1 v 1 + k 2 v 2 + ⋯ + k n v n
\begin{align*}
\mathbf{v} &= c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}
\\ \mathbf{v} &= k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}
\end{align*}
v v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = k 1 v 1 + k 2 v 2 + ⋯ + k n v n
위의 식에서 아래의 식을 빼면 다음과 같다.
0 = ( c 1 − k 1 ) v 1 + ( c 2 − k 2 ) v 2 + ⋯ + ( c n − k n ) v n
\mathbf{0} = (c_{1} - k_{1}) \mathbf{v}_{1} + (c_{2} - k_{2}) \mathbf{v}_{2} + \cdots + (c_{n} - k_{n}) \mathbf{v}_{n}
0 = ( c 1 − k 1 ) v 1 + ( c 2 − k 2 ) v 2 + ⋯ + ( c n − k n ) v n
그런데 v 1 , v 2 , … , v n \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} v 1 , v 2 , … , v n
c 1 − k 1 = 0 , c 2 − k 2 = 0 , … , c n − k n = 0
c_{1} - k_{1} = 0,\quad c_{2} - k_{2} = 0,\quad \dots,\quad c_{n} - k_{n} = 0
c 1 − k 1 = 0 , c 2 − k 2 = 0 , … , c n − k n = 0
뿐이다. 따라서 다음이 성립한다.
c 1 = k 1 , c 2 = k 2 , … , c n = k n
c_{1} = k_{1},\quad c_{2} = k_{2},\quad \dots,\quad c_{n} = k_{n}
c 1 = k 1 , c 2 = k 2 , … , c n = k n
그러므로 두 선형결합 표현이 서로 같다.
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