📂선형대수

벡터공간의 기저

정의¹

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{r} \right\}$를 벡터공간 $V$의 부분집합이라고 하자. $S$가 아래의 두 조건을 만족시키면 $S$를 $V$의 기저^basis라 한다.

• $S$가 $V$를 생성한다.

  $$ V = \text{span}(S) $$

• $S$가 선형독립이다.

설명

기저는 그 이름에서 짐작할 수 있듯 '벡터공간을 만들어낼 수 있는 가장 작은 것'의 개념에 해당한다. 생성이라는 조건이 '벡터공간을 만드는'의 의미를 갖고, 선형독립이라는 조건이 '가장 작은'의 의미를 갖는다. 벡터공간을 만든다는 것은 그렇다쳐도 가장 작아야할 필요에 대해서 바로 이해되지 않을 수 있다. 하지만 쉬운 예 하나만 살펴봐도 바로 이해가 될 것이다. 가령 우리는 $(2,3)$이라는 벡터를 굳이

$$ (2,3)=1(1,0) + 2(0,1) + 1(1,1) $$

과 같이 나타내지 않는다. $(1,1)$을 $(1,0), (0,1)$의 선형결합으로 나타낼 수 있기 때문이다. 즉 위의 식은 쓸데없이 길게만 적은 표현이라는 것이다. 따라서 선형독립이라는 조건이 어떤 벡터를 기저의 선형결합으로 나타낼 때 가장 깔끔한, 필요한 것들만 모아놓은 꼴로 표현되도록 해준다.

여기서 주의해야할 것은 한 벡터공간에 대해서 기저가 딱히 유일하게 존재할 필요는 없다는 것이다. 예를 들어 $\left\{ (1,0) , (0,1) \right\}$은 $\mathbb{R}^{2}$를 생성하는 기저다. 그런데 정의에 따르면 $\left\{ (2,0) , (0,2) \right\}$ 도 $\mathbb{R}^2$ 의 기저가 될 수 있다. 그뿐일까? 심지어 $\left\{ (1,1) , (-1,1) \right\}$ 역시 $\mathbb{R}^2$를 생성하는데 있어서 전혀 문제가 없다. 다만 일반적으로 $\mathbb{R}^{n}$에서는 아래의 벡터들로 이루어진 기저를 다룬다.

$$ \mathbf{e}_{1} = (1,0,0,\dots,0), \quad \mathbf{e}_{2}=(0,1,0,\dots,0),\quad \mathbf{e}_{n}=(0,0,0,\dots,1) $$

이러한 기저를 $\left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}$을 $\mathbb{R}^{n}$상의 표준기저^{standard basis for $\mathbb{R}^{n}$}라 한다. 각각의 $\mathbf{e}_{i}$들은 표준단위벡터^{standard unit vector}라 불린다. 특별히 $n=3$인 경우에는 다음과 같이 표기가 흔히 쓰인다.

$$ \begin{align*} \hat{\mathbf{x}} =&\ \mathbf{e}_{1} = \hat{\mathbf{x}}_{1} = \mathbf{i}=(1,0,0) \\ \hat{\mathbf{y}} =&\ \mathbf{e}_{2} = \hat{\mathbf{x}}_{2} = \mathbf{j}=(0,1,0) \\ \hat{\mathbf{z}} =&\ \mathbf{e}_{3} = \hat{\mathbf{x}}_{3} = \mathbf{k}=(0,0,1) \end{align*} $$

아래의 정리로부터 좌표의 개념을 추상화된 벡터공간에서도 얘기할 수 있다. $\mathbf{v} \in V$가 $(1)$와 같이 표현되면, $[\mathbf{v}]_{S}$를 기저 $S$에 대한 $\mathbf{v}$의 좌표벡터^{coordinate vector $\mathbf{x}$ of relative of $S$}라고 한다.

$$ [\mathbf{v}]_{S} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{bmatrix} $$

정리: 기저 표현의 유일성

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$를 벡터공간 $V$의 기저라고 하자. 그러면 모든 벡터 $\mathbf{v} \in V$에 대해서

$$ \begin{equation} \mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n} \end{equation} $$

과 같이 표현하는 방법은 유일하다. 다시말해 위 식을 만족하는 계수들의 순서쌍 $(c_{1},c_{2},\dots,c_{n})$이 유일하게 존재한다.

증명

$S$가 $V$를 생성하므로, 생성의 정의에 따라 $V$의 모든 벡터는 $S$의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 어떤 벡터 $\mathbf{v}$를 아래와 같이 두 선형결합으로 표현할 수 있다고 하자.

$$ \begin{align*} \mathbf{v} &= c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n} \\ \mathbf{v} &= k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n} \end{align*} $$

위의 식에서 아래의 식을 빼면 다음과 같다.

$$ \mathbf{0} = (c_{1} - k_{1}) \mathbf{v}_{1} + (c_{2} - k_{2}) \mathbf{v}_{2} + \cdots + (c_{n} - k_{n}) \mathbf{v}_{n} $$

그런데 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n}$는 선형독립이므로 위 식을 만족하는 해는 오로지

$$ c_{1} - k_{1} = 0,\quad c_{2} - k_{2} = 0,\quad \dots,\quad c_{n} - k_{n} = 0 $$

뿐이다. 따라서 다음이 성립한다.

$$ c_{1} = k_{1},\quad c_{2} = k_{2},\quad \dots,\quad c_{n} = k_{n} $$

그러므로 두 선형결합 표현이 서로 같다.

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