📂행렬대수

행렬의 닮음

정의¹

정사각행렬 $A$, $B$와 어떤 가역행렬 $P$에 대해서 다음의 식이 성립하면 $B$가 $A$와 닮았다^{$B$ is similar to $A$}고 한다.

$$B = P^{-1} A P$$

설명

닮았다고 명명한 이유는 닮은 행렬끼리 공유하는 중요한 성질이 많기 때문이다. 이를 닮음 불변^{similarity invariant} 혹은 닮음에 의한 불변^{invariant under similarity}이라고 한다.

켤레

위에서 주어진 식을 $B$에 대해서 나타내면

$$B = P^{-1} A P$$

이므로 닮음 관계가 대칭적임을 쉽게 알 수 있다. 대수적으로는 $A$와 $B$가 $P$에 대한 켤레^conjugate라고 말할 수 있겠다.

정리

$A$와 $B$가 서로 닮은 행렬이라고 하자.

• 행렬식: $A$와 $B$의 행렬식이 같다.

• 가역성: $A$가 가역행렬이면 $B$도 가역행렬이다.

• 랭크: $A$와 $B$의 랭크가 같다.

• 무효차수: $A$와 $B$의 무효차수가 같다.

• 대각합: $A$와 $B$의 대각합이 같다.

• 특성 방정식: $A$와 $B$의 특성 방정식이 같다. (증명)

  • 고유값: $A$와 $B$의 고유값이 같다.

• 고유벡터: $\lambda$가 $A$의 고유값이면, $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유공간과 $\lambda$에 대응하는 $B$의 고유공간의 차원이 같다.