logo

행렬식의 성질 📂행렬대수

행렬식의 성질

성질

A,BA,B를 n×nn\times n행렬, kk를 상수라고 하자. 행렬식은 다음과 같은 성질을 만족한다.

(0) 행렬식은 선형이 아니다. det⁡(A+B)≠det⁡(A)+det⁡(B) \det(A + B) \ne \det(A) + \det(B)

(a) det⁡(kA)=kndet⁡(A)\det(kA) = k^{n}\det(A)

(b) det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B)\det(AB) = \det(A)\det(B)

(c) det⁡(AB)=det⁡(BA)\det(AB)=\det(BA)

(d) AA가 가역행렬이면, det⁡(A−1)=1det⁡(A)\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}

(e) det⁡(AT)=det⁡(A)\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A). 이때 ATA^{\mathsf{T}}는 AA의 전치이다.

(f) 함수 det⁡\det는 연속이고, 미분가능하다. 특히나 다음이 성립한다.

d(det⁡A)dA=(adj⁡A)T \dfrac{\mathrm{d} (\det A)}{\mathrm{d}A} = (\operatorname{adj}A)^{\mathsf{T}}

행렬함수 A(t)A(t)에 대해서 다음이 성립한다.

ddtdet⁡A(t)=Tr⁡((adj⁡A(t))dA(t)dt)=det⁡A(t)⋅Tr⁡(A−1(t)dA(t)dt) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \det A(t) = \Tr \Big( (\operatorname{adj}A(t)) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \Big) = \det A(t) \cdot \Tr\left( A^{-1}(t) \dfrac{\mathrm{d}A(t)}{\mathrm{d}t} \right)

증명

순열에 의한 정의를 이용하면 증명이 쉽다. n×nn \times n 행렬 A=[aij]A=[a_{ij}]에 대해서,

det⁡(A)=∑σ∈Snsgn⁡(σ)a1σ(1)a2σ(2)⋯anσ(n)(1) \det (A) = \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \tag{1}

(0)

행렬식의 라플라스 전개를 생각해보면, 2×22 \times 2에 대해서만 반례를 보이는 것으로 충분하다. AA와 BB를 다음과 같이 두자.

A=[1234],B=[5678] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}

그러면 각각의 행렬식은 다음과 같다.

det⁡(A)=1⋅4−2⋅3=4−6=−2 \det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2

det⁡(B)=5⋅8−6⋅7=40−42=−2 \det(B) = 5 \cdot 8 - 6 \cdot 7 = 40 - 42 = -2

이제 A+BA+B의 행렬식을 계산해보면 아래와 같다.

A+B=[1+52+63+74+8]=[681012] A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}

det⁡(A+B)=6⋅12−8⋅10=72−80=−8 \det(A + B) = 6 \cdot 12 - 8 \cdot 10 = 72 - 80 = -8

이 둘을 비교하면 같지 않다.

det⁡(A+B)=−8,det⁡(A)+det⁡(B)=−4 \det(A + B) = -8, \quad \det(A) + \det(B) = -4

  ⟹  det⁡(A+B)≠det⁡(A)+det⁡(B) \implies \det(A + B) \ne \det(A) + \det(B)

■

(a)

정의 (1)(1)에 의하여,

det⁡(kA)=∑σ∈Snsgn⁡(σ)(ka1σ(1))(ka2σ(2))⋯(kanσ(n))=kn∑σ∈Snsgn⁡(σ)a1σ(1)a2σ(2)⋯anσ(n)=kndet⁡(A) \begin{align*} \det (kA) &= \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) (k a_{1\sigma(1)}) (k a_{2\sigma(2)}) \cdots (k a_{n\sigma(n)}) \\ &= k^{n} \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \\ &= k^{n} \det (A) \end{align*}

■

(b)

정의 (1)(1)에 의하여,

det⁡(AB)=∑σ∈Snsgn⁡(σ)(AB)1σ(1)(AB)2σ(2)⋯(AB)nσ(n)=∑σ∈Snsgn⁡(σ)∑τ∈Sna1τ(1)bτ(1)σ(1)a2τ(2)bτ(2)σ(2)⋯anτ(n)bτ(n)σ(n) \begin{align*} \det (AB) &= \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) (AB)_{1\sigma(1)} (AB)_{2\sigma(2)} \cdots (AB)_{n\sigma(n)} \\ &= \sum_{\sigma \in S_{n}} \sgn(\sigma) \sum_{\tau \in S_{n}} a_{1\tau(1)} b_{\tau(1)\sigma(1)} a_{2\tau(2)} b_{\tau(2)\sigma(2)} \cdots a_{n\tau(n)} b_{\tau(n)\sigma(n)} \\ \end{align*}

(f)

행렬식의 정의 (1)(1)을 보면, det⁡A\det A는 AA의 각 성분에 대한 다항식이라는 것을 알 수 있다. 다항함수는 연속이고, 무한번 미분가능 하다.

■