📂행렬대수

연립 일차 방정식

정의¹

상수 $a_{1}$, $a_{2}$, $\dots$, $a_{n}$, $b$에 대해서 변수 $x_{1}$, $x_{2}$, $\dots$, $x_{n}$의 일차 방정식^{linear equation}을 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{equation} a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + \cdots + a_{n}x_{n} = b \label{lineq} \end{equation} $$

이때 적어도 하나의 $a$는 $0$이 아니다. 다시 말해 '모든 $a$가 $0$'인 것은 아니다. 일차 방정식들의 유한 집합을 연립 일차 방정식^{system of linear equations} 혹은 간단히 선형계^{linear system}라고도 하며 변수들을 미지수^unknowns라고 한다. 한국어로 선형과 일차는 같은 말이다. 일반적으로 $n$개의 변수 $x_{1}$, $x_{2}$, $\dots$, $x_{n}$에 대한 $m$개의 일차 방정식으로 이루어진 선형계는 다음과 같이 나타낸다.

$$ \begin{equation} \begin{aligned} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} &= b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} &= b_{2} \\ &\vdots \\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} &= b_{m} \end{aligned} \label{linsys} \end{equation} $$

이를 행렬로 나타내면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix} \\ A\mathbf{x} &= \mathbf{b} \end{align*} $$

설명

선형 시스템을 참으로 만드는 $x_{1}$, $x_{2}$, $\dots$, $x_{n}$의 값들을 해^solution라고 한다. 선형 시스템이 주어지면 반드시 아래의 세 경우 중 하나를 만족한다. 이외의 경우는 존재하지 않는다. 증명은 글 하단에서 소개한다.

• 해가 유일하게 존재한다.
• 해가 무수히 많이 존재한다.
• 해가 존재하지 않는다.

적어도 하나 이상의 해가 존재하면 선형 시스템이 일치한다^consistent고 한다. 해가 존재하지 않으면 선형 시스템이 불일치한다^inconsistent고 한다.

구체적으로 변수가 2개인 경우에 일차 방정식은 직선의 방정식을 의미한다. 변수가 2개인 선형 시스템에서 해가 유일하게 존재하면 직선들이 한 점에서 만나는 경우를 의미한다. 해가 무수히 많이 존재하면 직선들이 무수히 많은 점에서 만나는 경우, 즉 겹쳐있는 경우를 의미한다. 해가 존재하지 않으면 직선들이 만나는 점이 존재하지 않는 경우를 의미한다.

변수가 3개인 일차 방정식은 평면의 방정식을 의미하므로, 선형 시스템의 해에 따라서 평면들이 어떻게 겹쳐있는지를 의미하게 된다.

예시

다음과 같은 선형 시스템을 풀어보자.

$$ \begin{align*} 4x -2y &= 1 \\ 16x -8y &= 4 \end{align*} $$

위의 식에 $-4$를 곱해서 아래의 식에 더하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} 4x -2y &= 1 \\ 0 &= 0 \end{align*} $$

그러면 아랫줄의 식은 아무런 정보도 나타내지 않으므로 윗식으로만 나타내자.

$$ 4x -2y = 1 $$

이런 경우에는 기하적으로 두 직선이 일치하는 것을 의미한다. 이러한 경우에는 $x$를 $y$에 대해서 정리하여 $x = \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{4}$와 같이 표기한 후 $y$에 어떤 임의의 수 $t$를 대입하여 해를 나타낸다.

$$ x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}t, \quad y = t $$

이러한 $t$를 매개변수^parameter라 하고 위의 방정식을 매개변수 방정식^{parametric equations}이라 한다.

증명²

연립 일차 방정식은 해를 가지지 않거나, 하나만 가지거나, 무수히 많이 가진다. 다른 경우는 존재하지 않는다.

서로 다른 두 해가 있을 때 무수히 많은 해가 존재함을 보이면 증명이 끝난다. $\mathbf{x}_{1}$, $\mathbf{x}_{2}$가 선형 시스템 $A\mathbf{x} =\mathbf{b}$의 서로 다른 두 해라고 하자. 그리고 $\mathbf{x}_{0} = \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}$라고 하자. $\mathbf{x}_{1}$와 $\mathbf{x}_{2}$가 서로 다른 두 해이므로 $\mathbf{x}_{0} \ne \mathbf{0}$이다. 또한 다음의 식이 성립한다.

$$ A \mathbf{x}_{0} = A (\mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}) = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0} $$

이때 $k$를 임의의 상수라고 하자. 그러면 위 결과에 의해 다음의 식도 성립한다.

$$ \begin{align*} A (\mathbf{x}_{1} + k\mathbf{x}_{0}) &= A\mathbf{x}_{1} + A(k\mathbf{x}_{0}) \\ &= A\mathbf{x}_{1} + kA\mathbf{x}_{0} \\ &= \mathbf{b} + \mathbf{0} \\ &= \mathbf{b} \end{align*} $$

따라서 $\mathbf{x}_{1} + k\mathbf{x}_{0}$도 선형 시스템 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해이다. 이는 임의의 상수 $k$에 대해서 성립하므로 해가 무수히 많이 존재한다.

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