두 벡터의 스칼라곱(점곱, 내적)
📂행렬대수 두 벡터의 스칼라곱(점곱, 내적) 정의 크기가 n × 1 n \times 1 n × 1 열벡터 u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v ∈ R n \in \mathbb{R}^{n} ∈ R n 스칼라곱 scalar product 을 다음과 같이 정의한다.
u ⋅ v : = u T v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ⋯ + u n v n
\begin{equation}
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} := \mathbf{u}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}=u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}
\label{EuclideanIP}
\end{equation}
u ⋅ v := u T v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ⋯ + u n v n
u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v ∈ C n \in \mathbb{C}^{n} ∈ C n
u ⋅ v : = u ∗ v = u 1 ∗ v 1 + u 2 ∗ v 2 + ⋯ + u n ∗ v n
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} := \mathbf{u}^{\ast}\mathbf{v}=u^{\ast}_{1}v_{1}^{\ } + u_{2}^{\ast}v_{2}^{\ } + \cdots + u_{n}^{\ast}v_{n}^{\ }
u ⋅ v := u ∗ v = u 1 ∗ v 1 + u 2 ∗ v 2 + ⋯ + u n ∗ v n
이때 u ∗ \mathbf{u}^{\ast} u ∗ u \mathbf{u} u 켤레 전치 이다.
설명 3차원 좌표 공간에서의 내적 을 n n n 스칼라곱 이라는 이름은 계산의 결과가 스칼라이기 때문에 붙은 것이다. 표기로 점 ⋅ \cdot ⋅ 점곱 dot product 라고도 불린다. 특히나 점곱이라는 이름과 ⋅ \cdot ⋅
한국에서는 이를 흔히 내적 inner product 이라고도 많이 부르는데, 이는 점곱이 일반적으로 정의되는 내적 에서 유클리드 공간인 특수한 경우이기 때문이다. 같은 이유로 ( 1 ) (1) ( 1 ) 유클리드 내적 Euclidean inner product 혹은 표준 내적 standard inner product 라 부르기도 한다. 물리학, 공학 등에서는 크게 구분하지 않으나, 수학과 가까운 분야에서는 내적이라는 명칭은 추상화된 벡터공간 , 특히나 함수공간 에서 정의된 그것을 지칭하는 경우가 많다.
다음의 표기들은 모두 내적을 나타낸다는 것을 기억하자.
u ⋅ v = u T v = u ∗ v = ⟨ u , v ⟩ = ⟨ u ∣ v ⟩
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \mathbf{v} = \mathbf{u}^{\ast} \mathbf{v} =
\left\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \right\rangle = \braket{\mathbf{u} | \mathbf{v}}
u ⋅ v = u T v = u ∗ v = ⟨ u , v ⟩ = ⟨ u ∣ v ⟩
특히나 ⟨ u ∣ v ⟩ \braket{\mathbf{u} | \mathbf{v}} ⟨ u ∣ v ⟩ 디랙 표기법 이라 하여 양자역학에서 주로 쓰인다.
스칼라곱과 달리 두 벡터를 계산하여 벡터가 나오는 연산을 벡터곱, 행렬이 나오는 연산을 외적이라 한다.
연산 스칼라곱(내적) 벡터곱 외적(텐서곱) 차원 n n n 3 3 3 n n n 표기 u ⋅ v = u T v \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \mathbf{v} u ⋅ v = u T v u × v \mathbf{u} \times \mathbf{v} u × v u ⊗ v = u v T \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}} u ⊗ v = u v T 결과 스칼라 = 1 × 1 =1 \times 1 = 1 × 1 3 3 3 n × n n \times n n × n 값 ∑ i u i v i = u 1 v 1 + ⋯ + u n v n \sum_{i} u_{i}v_{i} = u_{1}v_{1} + \cdots + u_{n}v_{n} ∑ i u i v i = u 1 v 1 + ⋯ + u n v n [ u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 ] \begin{bmatrix} u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2} \\ u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3} \\ u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1} \end{bmatrix} u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 [ u 1 v 1 u 1 v 2 ⋯ u 1 v n u 2 v 1 u 2 v 2 ⋯ u 2 v n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n v 1 u n v 2 ⋯ u n v n ] \begin{bmatrix} u_{1}v_{1} & u_{1}v_{2} & \cdots & u_{1}v_{n} \\ u_{2}v_{1} & u_{2}v_{2} & \cdots & u_{2}v_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{n}v_{1} & u_{n}v_{2} & \cdots & u_{n}v_{n}\end{bmatrix} u 1 v 1 u 2 v 1 ⋮ u n v 1 u 1 v 2 u 2 v 2 ⋮ u n v 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ u 1 v n u 2 v n ⋮ u n v n
직교성, 놈 두 벡터 u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v 직교 orthogonal 한다고 하고 u ⊥ v \mathbf{u} \perp \mathbf{v} u ⊥ v
u ⋅ v = 0
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0
u ⋅ v = 0
열벡터 v \mathbf{v} v 놈 norm 혹은 길이 length 를 다음과 같이 정의한다.
∥ v ∥ : = v ⋅ v
\left\| \mathbf{v} \right\| := \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}
∥ v ∥ := v ⋅ v
놈이 1 1 1 단위 벡터 unit vecter 라 한다. 두 벡터 u \mathbf{u} u v \mathbf{v} v d ( u . v ) d(\mathbf{u}. \mathbf{v}) d ( u . v )
d ( u , v ) : = ∥ u − v ∥ = ( u − v ) ⋅ ( u − v ) = ( u − v ) ∗ ( u − v )
d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) := \left\| \mathbf{u} - \mathbf{v} \right\| = \sqrt{(\mathbf{u}-\mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})} = \sqrt{(\mathbf{u}-\mathbf{v})^{\ast} (\mathbf{u}-\mathbf{v})}
d ( u , v ) := ∥ u − v ∥ = ( u − v ) ⋅ ( u − v ) = ( u − v ) ∗ ( u − v )
성질 A A A n × n n\times n n × n u , v \mathbf{u},\mathbf{v} u , v n × 1 n\times 1 n × 1
( A u ) ⋅ v = u ⋅ ( A T v ) u ⋅ ( A v ) = ( A T u ) ⋅ v
\begin{align*}
(A \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} &= \mathbf{u} \cdot (A^{\mathsf{T}} \mathbf{v}) \\
\mathbf{u} \cdot (A \mathbf{v}) &= (A^{\mathsf{T}} \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}
\end{align*}
( A u ) ⋅ v u ⋅ ( A v ) = u ⋅ ( A T v ) = ( A T u ) ⋅ v
복소수 행렬일 경우에는,
( A u ) ⋅ v = u ⋅ ( A ∗ v ) u ⋅ ( A v ) = ( A ∗ u ) ⋅ v
\begin{align*}
(A \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} &= \mathbf{u} \cdot (A^{\ast} \mathbf{v}) \\
\mathbf{u} \cdot (A \mathbf{v}) &= (A^{\ast} \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}
\end{align*}
( A u ) ⋅ v u ⋅ ( A v ) = u ⋅ ( A ∗ v ) = ( A ∗ u ) ⋅ v
증명 네 식의 증명 방법이 같으므로 첫번째 식의 증명만 소개한다. 전치행렬 의 성질에 의해 다음이 성립한다.
( A u ) ⋅ v = ( A u ) T v = ( u T A T ) v = u T ( A T v ) = u ⋅ A T v
\begin{align*}
(A \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} &= \left( A \mathbf{u} \right)^{\mathsf{T}} \mathbf{v}
\\ &= \left( \mathbf{u}^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}} \right) \mathbf{v}
\\ &= \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \left( A^{\mathsf{T}} \mathbf{v} \right)
\\ &= \mathbf{u} \cdot A^{\mathsf{T}} \mathbf{v}
\end{align*}
( A u ) ⋅ v = ( A u ) T v = ( u T A T ) v = u T ( A T v ) = u ⋅ A T v
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