에르미트 행렬
정의
$A$를 정사각 복소수 행렬이라고 하자. $A$가 아래의 식을 만족하면 에르미트 행렬Hermitian 혹은 자가 수반 행렬self-adjoint matrix이라 한다.
$$ A^{\ast}=A $$
이때 $A^{\ast}$는 $A$의 켤레 전치이다. $A$가 아래의 식을 만족하면 반 에르미트 행렬skew-Hermitian, anti-Hermitian이라고 한다.
$$ A^{\ast}=-A $$
설명
실수 행렬이라면 $A^{\ast}=A^{T}$이므로 대칭행렬이면 에르미트 행렬이다. 또한 아래의 성질에서 알 수 있듯이 에르미트 행렬의 대각 성분은 반드시 실수이다. 따라서 크기가 작은 행렬이라면 눈으로 봤을 때 에르미트 행렬인지 아닌지 반펼하기 쉽다.
에르미트 행렬의 대각 성분이 반드시 실수인 것과 같은 이유로 반 에르미트 행렬의 대각 성분은 모두 $0$이다.
성질
$A$를 에르미트 행렬이라고 하자.
(a) $A$의 대각 성분은 반드시 실수이다.
(b) $A$의 고유값은 모두 실수이다.
(c) $A$의 서로 다른 고유값을 가지는 고유 벡터는 서로 수직이다.
(b) 를 양자역학의 관점에서 말하면 ‘에르미트 연산자의 기댓값은 항상 실수이다’가 된다.
증명
(a)
행렬 $A$의 전치 $A^{T}$는 주 대각선을 기준으로 $A$의 성분을 대칭이동 시킨 것이다. 따라서 두 행렬의 대각 성분은 항상 같다. 이는 곧 $a_{ij}=\overline{a_{ij}}$를 의미하므로 대각 성분은 실수이다.
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