대칭행렬, 반대칭행렬

정의¹

임의의 정사각행렬 $A$가 다음의 식을 만족하면 $A$를 대칭행렬^{symmetric matrix} 이라고 한다.

$$ A=A^{\mathsf{T}} $$

이때 $A^{\mathsf{T}}$는 $A$의 전치행렬이다. $A$가 다음의 식을 만족하면 $A$를 반대칭행렬^{anti-symmetric matrix}이라고 한다.

$$ A =-A^{\mathsf{T}} $$

설명

전치행렬의 정의에 의해 정사각행렬이 아닌 행렬은 대칭행렬, 반대칭행렬이 될 수 없다. $A$가 반대칭행렬이라면 정의에 의해 $a_{ii}=-a_{ii}$이므로 대각 성분은 반드시 $0$이다.

정리

두 대칭행렬 곱이 대칭행렬일 필요충분조건은 두 행렬의 곱이 교환가능한 것이다.

$$ (AB)^{\mathsf{T}} = AB \iff AB = BA $$

두 행렬의 곱은 일반적으로 교환가능하지 않다는 점을 유념하자.

증명

두 대칭행렬 $A$와 $B$에 다음이 성립한다.

$$ (AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}} A^{\mathsf{T}} = BA $$

따라서 $AB$가 대칭이면 $A$와 $B$가 교환가능하고, $A$와 $B$가 교환가능하면 $AB$가 대칭이다.

■

성질

(a) $A^{\mathsf{T}}$는 대칭행렬이다.

(b) $A \pm B$는 대칭행렬이다.

(c) $kA$는 대칭행렬이다.

(d) $A$가 가역이면, $A^{-1}$도 대칭행렬이다.

(e) $A$가 가역이면, $A^{\mathsf{T}}A$와 $AA^{\mathsf{T}}$도 가역이다.

(f) $AA^{\mathsf{T}}$는 $m \times m$ 대칭행렬이고, $A^{\mathsf{T}}A$는 $n \times n$ 대칭행렬이다.

(g) $A$의 고유값은 모두 실수이다.

(h) $A$의 서로 다른 고유값에 대응되는 고유벡터는 직교한다. (= 서로 다른 고유공간의 고유벡터는 직교한다.)