📂확률분포론

평균이 0인 정규분포를 따르는 확률변수 거듭제곱의 기대값

공식

확률변수 $X$ 가 정규분포 $N \left( 0 , \sigma^{2} \right)$ 를 따른다고 하면 그 거듭제곱 $X^{n}$ 의 기대값은 다음과 같이 재귀적인 공식으로 나타난다¹. $$E \left( X^{n} \right) = (n - 1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right)$$ $E \left( X^{n} \right)$ 은 $n$ 이 홀수일 때 $0$ 이고, 짝수일 때 다음과 같다². $$E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n}$$ 여기서 느낌표가 두 개 들어간 $k!! = k \cdot \left( k - 2 \right) \cdots$ 은 더블 팩토리얼을 나타낸다.

설명

널리 알려진 따름정리로써 $E \left( X^{4} \right) = 3 \sigma^{4}$ 이 성립하고, 이는 이토 테이블의 유도 등에서 쓰일 수 있다.

유도

결과를 얻는 두가지 방법이 있다. 가우스 적분을 통한 방식은 일반화된 공식을 통한 숏컷이라 유도가 쉽고 빠르다. 부분 적분을 통한 방식은 다소 까다롭지만 그 과정에서 재귀공식도 얻을 수 있다. 두 방법 모두 다음과 같이 $E \left( X^{n} \right)$ 을 적분으로 풀어내는 것에서 시작한다. $$E \left( X^{n} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} x^{n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx$$

가우스 적분을 이용한 방식

가우스 적분의 일반화: $n$ 이 자연수라 하자. $$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}dx =& \dfrac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}} \\ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^{2}}dx =& 0 \end{align*}$$

연속된 홀수의 곱: 정수 $n \ge 0$에 대해서 다음이 성립한다. $$(2n-1) \cdot (2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 = \dfrac{(2n)!}{2^{n} (n!)} = (2n-1)!!$$

$n$ 이 홀수면 공식에 의해 더 볼 것도 없이 $E \left( X^{n} \right) = 0$ 이다. $n$ 이 짝수면 $\alpha = 1/2 \sigma^{2}$ 을 대입해서 다음을 얻는다. $$\begin{align*} E \left( X^{2n} \right) =& {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \\ =& {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \frac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\pi 2^{2n+1} \sigma^{4n+2}} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n} 2^{n}}\sqrt{2^{2n} \sigma^{4n}} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n} 2^{n}} 2^{n} \sigma^{2n} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n}} \sigma^{2n} \\ =& (2n-1) !! \sigma^{2n} \end{align*}$$

부분 적분을 이용한 방식

$$I_{n} := \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2} dt$$ $I_{n}$ 을 위와 같이 두고 부분적분법을 사용하자. 이 부분이 다소 까다롭다. $$\begin{align*} - I_{n} =& - \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} t^{n-1} \cdot {\frac{ - 2 t }{ 2 }} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& \left[ t^{n-1} \cdot e^{-t^{2} / 2} \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (n-1) t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& 0 - (n-1) I_{n-2} \end{align*}$$ 정리하면 $I_{n} = (n-1) I_{n-2}$ 이고, 이를 $E \left( X^{n} \right)$ 을 계산하는 과정에 적용한다. $t = x / \sigma$ 이라 치환하면 $dx = \sigma dt$ 이므로 $$\begin{align*} E \left( X^{n} \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} x^{n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \left( \sigma t \right)^{n} e^{-t^{2} / 2 } \cdot \sigma dt \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2 } dt \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} I_{n} \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} (n-1) I_{n-2} \\ =& (n-1) {\frac{ \sigma^{2} \cdot \sigma^{n-2} }{ \sqrt{2 \pi} }} \int_{-\infty}^{\infty} t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& (n-1) \sigma^{2} \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ \sigma^{n-2} }{ \sqrt{2 \pi} }} t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& (n-1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) \end{align*}$$ 을 얻는다. $X$ 는 평균이 $0$ 인 정규분포로 가정했으므로 $E \left( X^{1} \right) = 0$ 이고, 모든 홀수 $n$ 에 대해 $E \left( X^{n} \right) = 0$ 이다. 짝수에 대해서는 재귀공식을 전개함으로써 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*} E \left( X^{2n} \right) =& (2n-1) \sigma^{2} E \left( X^{2n-2} \right) \\ =& (2n-1) \sigma^{2} \cdot (2n-3) \sigma^{2} E \left( X^{2n-4} \right) \\ \vdots& \\ =& [ (2n-1) (2n-3) \cdots 1 ] \sigma^{2(n-1)} E \left( X^{2} \right) \\ =& (2n-1)!! \sigma^{2n} \end{align*}$$

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