각운동량 연산자의 교환 관계
공식
$$ \left[L_{j}, L_{k} \right] = \i \hbar \epsilon_{jk\ell}L_{\ell} \tag{1} $$
이때 $\epsilon_{jk\ell}$은 레비-치비타 심볼이다. 풀어서 적으면,
$$ \left[ L_{x}, L_{y} \right] = \i \hbar L_{z} \\ \left[ L_{y}, L_{z} \right] = \i \hbar L_{x} \\ \left[ L_{z}, L_{x} \right] = \i \hbar L_{y} $$
또한 $L^{2} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2}$는 각 성분과 교환가능하다.
$$ [L^{2}, L_{x}] = [L^{2}, L_{y}] = [L^{2}, L_{z}] = 0 \tag{2} $$
설명
$x$와 $p_{x}$는 각각 위치 연산자와 운동량 연산자이다.
증명
$(1)$
아래첨자가 순환하므로 $\left[ L_{x},\ L_{y} \right]$에 대해서만 계산해보면 된다.
$$ \left[ A + B, C \right] = \left[ A, C \right] + \left[ B, C \right] $$
교환자의 성질에 의해 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= [yp_{z}-zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}-xp_{z}]- [zp_{y},zp_{x}-xp_{z}] \\ &= [yp_{z},zp_{x}] - [yp_{z},xp_{z}] - [zp_{y},zp_{x}] + [zp_{y},xp_{z}] \tag{1} \end{align*} $$
이 때 서로 다른 좌표에 대해서 위치 연산자와 운동량 연산자는 교환가능하다.
$$ [x, p_{y}] = [x, p_{z}] = [y, p_{x}] = [y, p_{z}] = [z, p_{x}] = [z, p_{y}] = 0 $$
또한 같은 연산자끼리의 교환자도 $0$이다. 따라서 $(1)$을 전개했을 때 $[x,p_{x}],\ [y,p_{y}],\ [z,p_{z}]$ 이 셋만 $0$이 아닌 값을 갖는다. 그러므로 $0$이 아닌 항만 생각해주면 된다. 첫 번째 항을 전개하면 $y[p_{z},z]p_{x}$를 제외한 항은 모두 $0$이다. 두 번째 항을 전개하면 모든 항이 $0$이다. 세 번째 항을 전개하면 모든 항이 $0$이다. 네 번째 항을 전개하면 $x[z,p_{z}]p_{y}$를 제외한 항은 모두 $0$이다. (이해가 안된다면 직접 전개해서 풀어보라) 따라서 다음을 얻는다.
$$ [L_{x},L_{y}] = y[p_{z},z]p_{+}x[z,p_{z}]p_{y} $$
여기서 위치-운동량 교환자 $[x, p_{x}] = \i\hbar$를 이용하면 아래와 같이 계산된다.
$$ \begin{align*} [L_{x},L_{y}] &= y[p_{z},z]p_{x} - x[z,p_{z}]p_{y} \\ &= -\i\hbar (yp_{x}) + \i\hbar (xp_{y}) \\ &= \i \hbar (xp_{y} - yp_{x}) \\ &= \i \hbar L_{z} \end{align*} $$
같은 논리로 다음을 얻는다.
$$ [L_{y},L_{z}] = \i \hbar L_{x}, \qquad [L_{z}, L_{x}] = \i \hbar L_{y} $$
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$(2)$
교환자의 성질과 $(1)$을 이용하면, $[L_{z}, L_{z}] = 0$이므로, 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} [L^2, L_{z}] &= [{L_{x}}^2 + {L_{y}}^2 + {L_{z}}^2, L_{z}] \\ &= [{L_{x}}^2,L_{z}] + [{L_{y}}^2, L_{z}] +[{L_{z}^2}, L_{z}] \\ &= L_{x}[L_{x}, L_{z}] + [L_{x}, L_{z}]L_{x} + L_{y}[L_{y}, L_{z}] + [L_{y}, L_{z}]L_{y} \\ &= (-\i\hbar L_{x}L_{y}) + (-\i\hbar L_{y}L_{x}) + \i\hbar L_{y}L_{z} + \i\hbar L_{x}L_{y} \\ &= 0 \end{align*} $$
마찬가지로 아래의 식이 성립한다.
$$ [L^2, L_{x}] = [L^2, L_{y}] = 0 $$
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