레일리 수의 정의
정의
유체역학에서 확산으로 인한 열 전달과, 속도가 $u$ 인 지점에서 대류로 인한 열 전달의 시간 스케일의 비인 무차원량을 레일리 수Rayleigh number라 한다. 레일리 수 $\mathrm{Ra}$ 는 특성 길이 $L$, 열전도율 $\alpha$, 점성계수 $\mu$, 밀도 $\rho$, 중력가속도 $g$ 에 대해 다음과 같이 정의된다. $$ \mathrm{Ra} = {\frac{ \Delta \rho L^{3} g }{ \mu \alpha }} $$
설명
레일리 수는 시간 스케일의 비로 표현되어서 그렇지 그 의미까지 생각해보면 일종의 페클레 수라는 걸 알 수 있다. 결과적으로 레일리 수가 크다는 것은 대류로 인한 열 전달이 확산으로 인한 열 전달보다 빠르다는 것이고, 작다는 것은 그 반대를 말한다. 분자와 분모를 나누어 그 유도과정을 가볍게 살펴보자.
우선 분자는 확산으로 인한 열 전달의 시간 스케일이고, $\alpha$ 는 열전도율이므로 $\mathsf{L}^{2} \mathsf{T}^{-1}$ 의 차원을 가진다. 따라서 시간 스케일은 다음과 같이 특성길이의 제곱인 $L^{2}$ 으로 캔슬한 후 역수를 취한 형태가 된다. $$ \alpha \left[ {\frac{ \mathsf{L}^{2} }{ \mathsf{T} }} \right] \implies {\frac{ L^{2} }{ \alpha }} \left[ \mathsf{T} \right] $$
분모는 속도가 $u$ 인 지점에서 대류로 인한 열 전달의 시간 스케일인데, 속도 $u$ 는 길이를 시간으로 나눈 것이므로 그 차원이 $\mathsf{L} \mathsf{T}^{-1}$ 이고, 분자와 유사하게 특성 길이 $L$ 로 캔슬한 후 역수를 취한 형태가 된다. $$ u \left[ {\frac{ \mathsf{L} }{ \mathsf{T} }} \right] \implies {\frac{ L }{ u }} \left[ \mathsf{T} \right] $$ 여기서 중력에 의해 받는 힘을 생각해보면 $\Delta m a$ 에서 $m$ 은 질량이므로 질량과 부피의 비인 밀도의 정의에서 $\rho = m / L^{3}$ 이고, 가속도는 중력가속도가 되어 $a = g$ 이므로 $F \sim \Delta \rho L^{3} g$ 이다.
스톡스 법칙 속도가 $v$ 고 반지름이 $r$ 인 구형 입자가 동점성 계수 $\mu$ 인 유체에서 움직이며 점성에 의해 받는 항력drag force $F$ 는 다음과 같다. $$ F = - 6 \pi \mu r v $$
한편 스톡스 법칙에서 $F \sim \mu L V$ 이기도 하므로, $u \sim \Delta \rho L^{2} g / \mu$ 이고, $L / u \sim \mu / \Delta \rho L g$ 이다. 이제 레일리 수 $\mathrm{Ra}$ 의 분자와 분모에 대입해보면 다음을 얻는다. $$ \mathrm{Ra} = {\frac{ L^{2} / \alpha }{ \mu / \Delta \rho L g }} = {\frac{ \Delta \rho L^{3} g }{ \mu \alpha }} $$