스톡스 법칙과 항력, 종단 속도
법칙
스톡스 법칙
속도가 $v$ 고 반지름이 $r$ 인 구형 입자가 동점성 계수 $\mu$ 인 유체에서 움직이며 점성에 의해 받는 항력drag force $F$ 는 다음과 같다. $$ F = - 6 \pi \mu r v $$ 이를 스톡스 법칙Stokes’ law이라 한다.
종단속도
유체 속에서 입자가 낙하할 때, 그 종단속도terminal velocity $v_{\infty}$ 는 다음과 같다. $$ v_{\infty} = {\frac{ 2 r^{2} g \left( \rho - \rho_{f} \right) }{ 9 \mu }} $$ 여기서 $\rho$ 는 입자의 밀도, $\rho_{f}$ 는 유체의 밀도, $g$ 는 중력가속도다.
설명
스톡스 법칙은 레이놀즈 수가 낮아 층류를 이루며 표면이 매끄럽다는 가정 하에서 성립한다.
언뜻 보아서 종단속도 공식은 상수들이 많아서 기괴해보일 수 있는데, 유도과정을 보면 딱히 그렇지도 않다.
유도
종단속도에서는 입자가 더 이상 가속하지 않는다. 뉴턴의 운동 법칙에서 $F = m a$ 이고, 입자의 질량은 구의 부피인 $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ 에 밀도 $\rho$ 를 곱한 것이므로 중력에 의한 힘 $F_{g}$ 는 다음과 같다. $$ F_{g} = m g = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g $$ 그 반대로 작용하는 부력 $F_{f}$ 는 다음과 같다. $$ F_{f} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{f} g $$ 입자가 가속하지 않는다는 것은 이들의 알짜힘net force이 항력과 균형을 이룬다는 것이고, 수식적으로는 다음과 같이 나타낸다. $$ \begin{align*} F_{g} - F_{f} =& - F \\ \implies \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g - \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho_{f} g =& 6 \pi \mu r v \end{align*} $$ 이를 $v$ 에 대해 정리하면 종단속도 공식을 얻는다. $$ v = {\frac{ 2 r^{2} g \left( \rho - \rho_{f} \right) }{ 9 \mu }} $$
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