📂수치해석

암시적 미분방정식

정의 ¹

특히 상미분방정식에서, 다음과 같이 암시적^implicit으로 표현되는 미분방정식을 암시적 상미분방정식이라 한다. $$ f \left( x , \dot{x} \right) = 0 $$

설명

당연히 $\dot{x} = f(x)$ 와 같은 미분방정식이 있다면 $g( x , \dot{x} ) = \dot{x} - f(x)$ 로 표현할 수 있기 때문에, 보통 암묵적이라는 표현에 집중할 것 같으면 한쪽 변에만 $\dot{x}$ 를 몰아넣을 수 없는 경우를 생각한다.

수치해석적 난점

암묵적 미분방정식은 특히 수치해석에서 RK4와 같은 솔버를 바로 적용할 수 없다는 점에서 일반적인 상미분방정식과 구분된다. 예로써 $\dot{x} = \sin \dot{x}$ 와 같은 방정식은 좌변에 등장하는 $\dot{x}$ 를 계산하기 위해 우변의 $\dot{x}$ 가 먼저 계산해야하는 애로사항이 생긴다.

참고로 암시적 미분방정식을 푸는 것과 암묵적 메서드를 쓰는 것은 관계 없다. 예로써 암시적 오일러 메서드를 생각해보면 $\dot{y} = f(y)$ 를 풀기 위해 $y_{n+1} = y_{n} + h f(y_{n+1})$ 와 같은 업데이트 룰을 사용하지만, 여기서 ‘암시적’이라는 것은 $y_{n+1}$ 을 구하기 위해서 우변에 $f(y_{n+1})$ 이 먼저 계산되어야 한다는 의미일 뿐이다. 암시적 상미분방정식 주어진 경우 결국에는 $\dot{y} = f(y)$ 에서 $f$ 를 정확히 특정할 수 없기 때문에 기존 솔버를 쓸 수 없다는 점은 똑같다.

결과적으로 암시적 미분방정식은 미분 대수 방정식^{differential algebraic equation}, 즉 $f \left( x , \dot{x} \right) = 0$ 을 제약조건으로 주어서 풀게 된다.