📂통계적분석

편미분방정식을 위한 신디: PDE-FIND

알고리즘 ¹

신디 알고리즘: 상태공간이 $\mathbb{R}^{n}$ 인 동역학계가 다음과 같이 스무스 함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ 에 의해 주어진다고 하자. $$ \dot{\mathbf{x}} = f \left( \mathbf{x} \right) $$ $X$ 의 독립변수들에 어떤 비선형함수를 취해서 얻는 파생변수로 만든 행렬 $\Theta \left( X \right) \in \mathbb{R}^{m \times p}$ 과 다음 행렬방정식에 STLSQ을 수행해서 지배 방정식^{governing equation}을 찾는 알고리즘을 신디^SINDy라 한다. $$ \dot{X} = \Theta \left( X \right) \Xi $$

신디의 변형으로, 편미분방정식을 복원하기 위한 알고리즘을 PDE-FIND라 한다.

설명

PDE-FIND의 FIND는 Functional Identification of Nonlinear Dynamical Systems에서 앞글자를 따온 것으로 사실상 이공계에서 자주 보이는 4행시나 마찬가지다. 애초에 신디^SINDy도 4행시였다.

알고리즘의 핵심 아이디어는 신디를 적용하되 우변에 공간에 대한 편미분항을 추가하는 것이다. $u u_{x}$ 와 같은 비선형항이 들어가면 물질 미분과 같은 것도 반영할 수 있으며, 나비에-스톡스 방정식과 같은 복잡한 유체역학 모델도 복구할 수 있다.

도메인이 너무 큰 경우 모든 좌표를 참고하지 않고 일부의 지점만 사용할 수도 있다. 근본적으로 지배 방정식이 하나라면 어느 지점이든 같은 방정식을 따르므로 전혀 문제될 게 없다.

$$ u_{t} = N \left( u, u_{x}, u_{xx}, \cdots , x, t, \mu \right) $$ 데이터 기반 모델^{data-driven model}에 익숙한 입장에서 PDE-FIND를 소개한 논문이 유용한 이유는 위와 같은 형태로 최소제곱문제를 세우는 건 알겠는데 구체적으로 행렬의 형태를 알려주기 때문이다. 저자들은 보충 자료^{suplementary material}에서 다음과 같이 식의 구성을 명시적으로 보여준다.

근본적으로 PDE-FIND는 신디와 다른 점이 없다. 다만 실제로 사용하는 것에 있어서는 상미분방정식의 솔버를 사용하지 않고 편미분방정식의 솔버를 사용해야한다는 점만 다르다.